Задача 4. Средняя линия трапеции равна 10 см, а одно из оснований — 6 см. Найдите второе основание.

Задача 4 Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований: $m = \frac{a+b}{2}$. Пусть $a = 6$ см, $m = 10$ см. Тогда: $10 = \frac{6+b}{2}$ $20 = 6 + b$ $b = 14$ см. Ответ: 14 см. Задача 5 Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция ($AD \parallel BC$, $AB = CD$). Диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ угол $\angle CAD = 30^{\circ}$ и с боковой стороной $CD$ угол $\angle ACD = 45^{\circ}$. 1. Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Угол $\angle D = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 45^{\circ}) = 105^{\circ}$. 2. Так как трапеция равнобедренная, углы при основании равны: $\angle A = \angle D = 105^{\circ}$. Это не совсем верно, так как $\angle A$ трапеции это $\angle CAD + \angle CAB$. Найдем углы иначе. 3. $\angle BCA = \angle CAD = 30^{\circ}$ (накрест лежащие при $AD \parallel BC$). 4. $\angle C = \angle BCA + \angle ACD = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$. 5. Углы при большем основании $\angle A = \angle D = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$. 6. Углы при меньшем основании $\angle B = \angle C = 75^{\circ}$. Ответ: $75^{\circ}, 75^{\circ}, 105^{\circ}, 105^{\circ}$. Задача 6 Пусть основания трапеции $a = 8$ см и $b = 20$ см. Диагональ делит среднюю линию на два отрезка, которые являются средними линиями двух треугольников, образованных этой диагональю. 1. Первый отрезок — средняя линия треугольника с основанием 8 см. Его длина: $\frac{8}{2} = 4$ см. 2. Второй отрезок — средняя линия треугольника с основанием 20 см. Его длина: $\frac{20}{2} = 10$ см. Ответ: 4 см и 10 см.