127 В треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, BC = B1C1, ∠B = ∠B1. На сторонах AB и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что ∠ACD = ∠A1C1D1. Докажите, что ΔBCD = ΔB1C1D1.

Дано: $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$, в которых: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ отмечены точки $D$ и $D_1$ так, что $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$. Доказать: $\Delta BCD = \Delta B_1C_1D_1$. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Значит, $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$. 3. Рассмотрим углы $\angle BCD$ и $\angle B_1C_1D_1$. $\angle BCD = \angle C - \angle ACD$. $\angle B_1C_1D_1 = \angle C_1 - \angle A_1C_1D_1$. Так как $\angle C = \angle C_1$ и по условию $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$, то $\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$. 4. Рассмотрим треугольники $BCD$ и $B_1C_1D_1$: - $BC = B_1C_1$ (по условию); - $\angle B = \angle B_1$ (по условию); - $\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$ (доказано в п. 3). Значит, $\Delta BCD = \Delta B_1C_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.