1. Точка M лежит на отрезке AB. Отрезок AB пересекается с плоскостью α в точке B. Через A и M проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках A1 и M1. а) Докажите, что A1, M1 и B лежат на одной прямой.

Доказательство: 1. По условию, через точки $A$ и $M$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$ и $M_1$. 2. Это значит, что прямые $AA_1$ и $MM_1$ параллельны ($AA_1 \parallel MM_1$). 3. Так как $AA_1 \parallel MM_1$, то через них можно провести плоскость $\beta$. 4. В этой плоскости $\beta$ лежат точки $A, M, A_1, M_1$. Так как $M$ лежит на отрезке $AB$, то и точка $B$ принадлежит этой плоскости $\beta$ (так как $B$ лежит на прямой $AB$, которая пересекается с $\alpha$ в точке $B$, то $B$ общая точка плоскости $\beta$ и плоскости $\alpha$). 5. Точки $A_1$ и $M_1$ принадлежат плоскости $\alpha$ (по условию) и плоскости $\beta$ (так как лежат на прямых, принадлежащих $\beta$). Следовательно, они лежат на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. 6. Точка $B$ также принадлежит и плоскости $\alpha$ (по условию), и плоскости $\beta$ (лежит на прямой $AB$). Значит, $B$ тоже лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. 7. Поскольку все три точки $A_1$, $M_1$ и $B$ лежат на линии пересечения двух плоскостей (а линия пересечения плоскостей — это прямая), значит, точки $A_1, M_1$ и $B$ лежат на одной прямой.