53 Три отрезка A1A2, B1B2 и C1C2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A1B1C1 и A2B2C2 параллельны.

Пусть $O$ — общая середина отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$. 1. Центральная симметрия относительно точки $O$ отображает точку $A_1$ в $A_2$, точку $B_1$ в $B_2$, а точку $C_1$ в $C_2$. 2. При центральной симметрии любая геометрическая фигура отображается на фигуру, ей равную. Плоскость при такой симметрии переходит в параллельную ей плоскость. 3. Так как точки $A_1, B_1, C_1$ при симметрии переходят соответственно в $A_2, B_2, C_2$, то плоскость $(A_1B_1C_1)$ переходит в плоскость $(A_2B_2C_2)$. Следовательно, эти плоскости параллельны. **Альтернативное доказательство через векторы:** 1. Обозначим радиус-векторы точек через $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}$ и $\vec{a_2}, \vec{b_2}, \vec{c_2}$. 2. Так как $O$ — середина отрезков, то $\vec{a_2} = -\vec{a_1}$, $\vec{b_2} = -\vec{b_1}$, $\vec{c_2} = -\vec{c_1}$. 3. Векторы в плоскости $(A_1B_1C_1)$ имеют вид $k(\vec{b_1} - \vec{a_1}) + m(\vec{c_1} - \vec{a_1})$. 4. Соответствующие векторы в плоскости $(A_2B_2C_2)$ имеют вид $k(\vec{b_2} - \vec{a_2}) + m(\vec{c_2} - \vec{a_2}) = k(-\vec{b_1} + \vec{a_1}) + m(-\vec{c_1} + \vec{a_1}) = -(k(\vec{b_1} - \vec{a_1}) + m(\vec{c_1} - \vec{a_1}))$. Так как векторы в плоскостях коллинеарны (пропорциональны), плоскости параллельны.