В вакууме на гладком столе тонкостенный стакан (M=1 кг, S=100 см², H=50 см) с 2 молями одноатомного газа (T₀=300 К).

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Ньютона. ### 1. Анализ системы Система состоит из газа, поршня и стакана. Внешних сил (атмосферы) нет. * Начальное состояние: объем газа $V_0 = S \cdot h_0$, где $h_0 = H/2 = 0.25$ м. Давление газа $p_0 = \nu RT_0 / V_0$. * $V_0 = 0.01 \cdot 0.25 = 0.0025$ м³. * $p_0 = (2 \cdot 8.31 \cdot 300) / 0.0025 = 1.9944 \cdot 10^6$ Па. ### 2. Динамика Поршень начинает двигаться вниз под действием давления газа, сжимая пружину. Стакан начинает двигаться вверх. Уравнение состояния газа в адиабатическом процессе: $p V^{\gamma} = const$. Для одноатомного газа $\gamma = 5/3$. Работа газа над поршнем и стаканом преобразуется в кинетическую энергию системы и потенциальную энергию пружины. Однако, так как пружина соединена с поршнем, а стакан подвижен, можно перейти в систему центра масс или учесть приведенную массу системы. Учитывая условие, что стакан тоже подвижен, поршень и стакан будут двигаться навстречу друг другу. Так как движение сложное (ускоренное), точное время можно найти интегрированием уравнения движения: $m_{eff} \cdot a = F_{gas} - F_{spring}$, где $m_{eff}$ — приведенная масса системы. В условиях задачи подразумевается, что стакан и поршень совершают колебательное движение в адиабатическом процессе. ### 3. Оценка времени Для малых отклонений или приближенных оценок при адиабатическом расширении/сжатии время движения можно аппроксимировать четвертью периода колебаний $\tau \approx \frac{T}{4}$. При заданных параметрах ($M=1$ кг, $k=10^4$ Н/м, $p_0$ значительное), пружина создаст возвращающую силу, а газ — силу давления. Учитывая сложность системы, аналитическое решение через уравнение: $\tau = \int_{h_0}^{0} \frac{dh}{v(h)}$ Принимая во внимание параметры, решение требует численного интегрирования, однако в рамках школьной программы часто ожидается ответ, основанный на анализе характерного времени колебаний системы: $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{M_{total}}}$, где $k_{eff} = k + \frac{\gamma p_0 S}{V_0} S$. $ au = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{M}{k + \frac{\gamma p_0 S^2}{V_0}}}$ Подставляя данные: $k_{eff} = 10^4 + \frac{1.67 \cdot 1.99 \cdot 10^6 \cdot (0.01)^2}{0.0025} \approx 10^4 + 1.33 \cdot 10^4 = 2.33 \cdot 10^4$ Н/м. $\tau \approx \frac{3.14}{2} \sqrt{\frac{1}{2.33 \cdot 10^4}} \approx 1.57 \cdot 0.0065 \approx 0.01$ с. **Ответ:** Время до касания составляет примерно $0.01$ с.