5. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

а) Сравним каждое слагаемое первого выражения с соответствующим слагаемым второго выражения: $\frac{1}{101} < \frac{1}{100}$, $\frac{1}{103} < \frac{1}{102}$, $\frac{1}{105} < \frac{1}{104}$, $\frac{1}{107} < \frac{1}{106}$, $\frac{1}{109} < \frac{1}{108}$. Так как все слагаемые первого выражения меньше соответствующих слагаемых второго, то сумма первого выражения меньше суммы второго. Ответ: $\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{105} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109} < \frac{1}{100} + \frac{1}{102} + \frac{1}{104} + \frac{1}{106} + \frac{1}{108}$. б) Раскроем скобки во втором выражении: $(a - 0,5) + (a^2 + \frac{1}{3}) + (a^3 + \frac{1}{6}) = a + a^2 + a^3 - 0,5 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$. Вычислим свободный член: $-0,5 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 0$. Получаем, что выражения равны. Ответ: $a + a^2 + a^3 = (a - 0,5) + (a^2 + \frac{1}{3}) + (a^3 + \frac{1}{6})$. в) Рассмотрим первое выражение: $\frac{1}{372} + \frac{2}{373} + \frac{3}{374} + \frac{4}{375}$. Каждое слагаемое явно меньше, чем $\frac{4}{372} = \frac{1}{93}$. Однако заметим, что $\frac{1}{37} > \frac{4}{375} \approx 0,01$. Также можно оценить сумму: каждое слагаемое меньше $\frac{4}{370} = \frac{1}{92,5}$, сумма из 4 таких слагаемых меньше $\frac{4}{92,5} < \frac{4}{37} = \frac{1}{9,25} < \frac{1}{37}$. Очевидно, что сумма положительных чисел $\frac{1}{372} + \frac{2}{373} + \frac{3}{374} + \frac{4}{375}$ значительно меньше $\frac{1}{37}$. Ответ: $\frac{1}{372} + \frac{2}{373} + \frac{3}{374} + \frac{4}{375} < \frac{1}{37}$.