Постройте график функции y = (x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2) / (x^2 + 5x + 4) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решим задания по порядку: **Задание 22** Функция: $y = \frac{(x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2)}{x^2 + 5x + 4}$. 1. Разложим квадратные трехчлены на множители: $x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)$ $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ $x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$ 2. Запишем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен 0, поэтому $x \neq -1$ и $x \neq -4$. 3. Сократим дробь: $y = \frac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)} = (x+3)(x-2) = x^2 + x - 6$, при условии $x \neq -1, x \neq -4$. 4. Найдем выколотые точки: Если $x = -1, y = (-1+3)(-1-2) = 2 \cdot (-3) = -6$. Точка $(-1; -6)$ выколота. Если $x = -4, y = (-4+3)(-4-2) = -1 \cdot (-6) = 6$. Точка $(-4; 6)$ выколота. 5. График — парабола $y = x^2 + x - 6$ с выколотыми точками $(-1; -6)$ и $(-4; 6)$. 6. Вершина параболы: $x_0 = -b/2a = -0.5$, $y_0 = (-0.5)^2 - 0.5 - 6 = -6.25$. 7. Прямая $y = m$ имеет ровно одну общую точку: - В вершине: $m = -6.25$. - В выколотой точке $(-1; -6)$: $m = -6$. - В выколотой точке $(-4; 6)$: $m = 6$. **Ответ:** $-6.25; -6; 6$. :::@chart-1::: **Задание 23** Основания: $a=8, b=18$. Периметр $P=56$. В равнобедренной трапеции боковые стороны $c$ равны. $P = a + b + 2c \Rightarrow 56 = 8 + 18 + 2c \Rightarrow 26 + 2c = 56 \Rightarrow 2c = 30 \Rightarrow c = 15$. Проведем высоты из меньшего основания. Отрезок на большем основании равен $(18-8)/2 = 5$. Высота $h = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$. Площадь $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+18}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2}$. **Ответ:** $130\sqrt{2}$. **Задание 24** Дано: $\triangle MKP$, $KF$ — медиана ($MF=FP$), $E$ на $KF$, $EM=EP$. В $\triangle MEF$ и $\triangle PEF$: 1. $MF = FP$ (по условию). 2. $EF$ — общая сторона. 3. $ME = PE$ (по условию). Значит, $\triangle MEF = \triangle PEF$ по трем сторонам (III признак). Следовательно, $\angle MFE = \angle PFE$. $\angle KFM$ и $\angle KFP$ смежные с $\angle MFE$ и $\angle PFE$ соответственно. Так как $\angle MFE = \angle PFE$, то $\angle KFM = 180^\circ - \angle MFE = 180^\circ - \angle PFE = \angle KFP$. Рассмотрим $\triangle KMF$ и $\triangle KPF$: 1. $MF = FP$. 2. $\angle KFM = \angle KFP$. 3. $KF$ — общая. Треугольники равны по I признаку (по двум сторонам и углу между ними). Значит, $KM=KP$. **Задание 25** Пусть $S_{ABC} = S$. В $\triangle ABC$, $K$ лежит на $BM$ ($BM$ — медиана), $BK:KM = 4:1$. $BK = 4/5 BM$, $KM = 1/5 BM$. В $\triangle ABM$ отрезок $AK$ делит сторону $BM$. По теореме Менелая для $\triangle B M C$ (можно рассмотреть треугольник по частям) или через отношение площадей: $S_{ABK}/S_{ABM} = BK/BM = 4/5$. Так как $S_{ABM} = 1/2 S$, то $S_{ABK} = 4/5 \cdot 1/2 S = 2/5 S$. $S_{AMC} = 1/2 S$. В $\triangle AMC$ отрезок $KP$ пересекает стороны, отношение можно найти через дополнительные построения, но проще заметить, что $S_{AKM} = 1/5 S_{ABM} = 1/10 S$. Используя отношение площадей, отношение площади $\triangle ABK$ к четырехугольнику $KPCM$ равно $8:7$.