Постройте график функции y = (x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2) / (x^2 + 5x + 4) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

### Задание 22 Функция: $y = \frac{(x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2)}{x^2 + 5x + 4}$. 1. Разложим числитель и знаменатель на множители: - $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$ - $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ - $x^2 + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1)$ 2. Упростим выражение: $y = \frac{(x + 3)(x + 4)(x - 2)(x + 1)}{(x + 4)(x + 1)} = (x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6$ Ограничения: $x \neq -4$, $x \neq -1$ (так как на ноль делить нельзя). - При $x = -4$, $y = (-4 + 3)(-4 - 2) = (-1)(-6) = 6$. Выколотая точка: $(-4; 6)$. - При $x = -1$, $y = (-1 + 3)(-1 - 2) = (2)(-3) = -6$. Выколотая точка: $(-1; -6)$. 3. Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -0,5$, $y_0 = (-0,5)^2 + (-0,5) - 6 = 0,25 - 0,5 - 6 = -6,25$. 4. Прямая $y = m$ имеет одну общую точку, когда она проходит через вершины или выколотые точки: - $m = -6,25$ (вершина). - $m = -6$ (проходит через выколотую точку $(-1; -6)$, в остальных точках параболы пересечений нет). - $m = 6$ (проходит через выколотую точку $(-4; 6)$). **Ответ:** $-6,25; -6; 6$. :::@chart-1::: ### Задание 23 1. Периметр трапеции: $P = a + b + 2c = 56$, где $a, b$ — основания, $c$ — боковая сторона. $8 + 18 + 2c = 56 \implies 26 + 2c = 56 \implies 2c = 30 \implies c = 15$. 2. Опустим высоту $h$ на большее основание. Отрезок на основании: $(18 - 8) / 2 = 5$. 3. Высота из прямоугольного треугольника: $h^2 + 5^2 = 15^2 \implies h^2 = 225 - 25 = 200 \implies h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$. 4. Площадь: $S = \frac{8 + 18}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2}$. **Ответ:** $130\sqrt{2}$. ### Задание 24 1. $KF$ — медиана $\triangle MKP$, значит $F$ — середина $MP$ ($MF = FP$). 2. Рассмотрим $\triangle MEF$ и $\triangle PEF$: - $MF = FP$ (по условию $F$ — середина); - $EF$ — общая сторона; - $ME = EP$ (по условию). 3. Значит, $\triangle MEF = \triangle PEF$ (по трем сторонам). Отсюда $\angle MFE = \angle PFE = 90^\circ$. 4. Так как $EF \perp MP$ и $KF$ проходит через $E$, то $KF \perp MP$. Следовательно, медиана $KF$ также является высотой. 5. Если в треугольнике медиана является высотой, треугольник равнобедренный, значит $KM = KP$. ### Задание 25 1. Пусть $S_{ABC} = S$. $BM$ — медиана, $S_{ABM} = 0,5S$. 2. $BK:KM = 4:1$, значит $S_{ABK} = \frac{4}{5} S_{ABM} = \frac{4}{5} \cdot 0,5S = 0,4S$. Аналогично $S_{AKM} = 0,1S$. 3. По теореме Менелая для $\triangle BMC$ и прямой $A-K-P$ или методом масс (масса $B=1, M=4 \implies K=5$), можно найти отношение площадей $S_{ABK}$ к $S_{KPCM}$. Расчет дает отношение $12:7$. **Ответ:** $12:7$.