Задание 1. Реши систему методом подстановки: { x^2 - 2x - y + 1 = 0, y - x = 1.

Задание 1. Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2x - y + 1 = 0 \\ y - x = 1 \end{cases} $ 1. Выразим $y$ из второго уравнения: $y = x + 1$. 2. Подставим выражение для $y$ в первое уравнение: $x^2 - 2x - (x + 1) + 1 = 0$. 3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $x^2 - 2x - x - 1 + 1 = 0$, следовательно $x^2 - 3x = 0$. 4. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 3) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. 5. Найдем соответствующие значения $y$: - Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0 + 1 = 1$. - Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 3 + 1 = 4$. **Ответ:** (0; 1), (3; 4). Задание 2. Решим систему графическим способом: $ \begin{cases} y = 2x + 1 \\ x^2 - y = 3 \end{cases} $ Преобразуем второе уравнение: $y = x^2 - 3$. Построим графики функций $y = 2x + 1$ (прямая) и $y = x^2 - 3$ (парабола). Пересечение графиков даст решение системы. Точки пересечения графиков находятся в точках $x \approx -0,7$ ($y \approx -0,4$) и $x \approx 2,7$ ($y \approx 6,4$). Точные значения можно найти, решив уравнение $2x + 1 = x^2 - 3$, что дает $x^2 - 2x - 4 = 0$. Корни: $x = 1 \pm \sqrt{5}$. :::@chart-1::: Задание 3*. Построим график функции $y = \begin{cases} -\frac{5}{x}, \text{ если } x \leq -1 \\ x^2 - 4x, \text{ если } x > -1 \end{cases}$. Для $x \leq -1$ это часть гиперболы $y = -\frac{5}{x}$. Для $x > -1$ это парабола $y = x^2 - 4x$. График пересекает прямую $y = c$ в трех точках, когда $c$ находится в промежутке между вершиной параболы и точкой разрыва (или точкой, где происходит переход функции). Минимум параболы находится в $x=2$, $y = 2^2 - 4(2) = -4$. При $x = -1$, $y = (-1)^2 - 4(-1) = 5$. В точке $x = -1$ гипербола дает $y = -5/(-1) = 5$. Таким образом, график непрерывен в $x = -1$ (значение $y=5$). Три точки пересечения будут при $-4 < c < 5$. :::@chart-2:::