1) $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos 5x$
Разделим обе части на $\sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \cos 5x$
Так как $\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем формулу синуса суммы:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \cos 5x$
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x)$
Раскладываем на два случая:
1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi k \Rightarrow 6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3}$
2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi k \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k \Rightarrow -4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{16} - \frac{\pi k}{2}$
2) $\sqrt{2}(\sin 2x - \cos 2x) = \cos 4x$
Разделим на $\sqrt{2}$:
$\sin 2x - \cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 4x$
$\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x) = \cos 4x$
$\sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \cos 4x$
$\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = \cos 4x$
$\sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{4}) = \cos 4x$
Это уравнение сложнее, часто проще использовать $\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4})$. Уравнение становится:
$2\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \cos 4x$.
Лучше через формулу $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$. Пусть $t = \sin 2x - \cos 2x$, тогда $t^2 = 1 - \sin 4x$, отсюда $\sin 4x = 1 - t^2$.
Уравнение: $\sqrt{2}t = \cos 4x$. Решение требует перехода к $\sin 2x$ или $\cos 2x$.
Корни: $x = \frac{\pi}{8} + \pi k$; $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi k$; $x = \frac{1}{2}(-1)^n \arcsin(\frac{1-\sqrt{1+4}}{2}) \dots$
3) $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 2 \sin 3x$
Разделим на 2:
$\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \sin 3x$
$\sin(\frac{\pi}{6} + x) = \sin 3x$
1) $\frac{\pi}{6} + x = 3x + 2\pi k \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{6} - 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \pi k$
2) $\frac{\pi}{6} + x = \pi - 3x + 2\pi k \Rightarrow 4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$
4) $\cos 7x \cos 3x = \cos 4x$
Используем формулу произведения: $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$
$\frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 10x) = \cos 4x$
$\cos 10x = \cos 4x$
$10x = 4x + 2\pi k$ или $10x = -4x + 2\pi k$
1) $6x = 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{3}$
2) $14x = 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{7}$
5) $\sin 7x \cos 5x = \cos 3x \sin 5x$
Перенесем все в одну сторону:
$\sin 7x \cos 5x - \cos 3x \sin 5x = 0$
Используем формулы произведения:
$\frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 2x) - \frac{1}{2}(\sin 8x - \sin 2x) = 0$
$\sin 12x + \sin 2x - \sin 8x + \sin 2x = 0$
$\sin 12x - \sin 8x + 2\sin 2x = 0$
$2\sin 2x \cos 10x + 2\sin 2x = 0$
$2\sin 2x (\cos 10x + 1) = 0$
1) $\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{2}$
2) $\cos 10x = -1 \Rightarrow 10x = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$
6) $\sin 9x = 2 \cos(\frac{3\pi}{2} + 3x)$
По формулам приведения: $\cos(\frac{3\pi}{2} + 3x) = \sin 3x$
$\sin 9x = 2 \sin 3x$
Раскрываем синус тройного угла: $\sin 9x = \sin(3 \cdot 3x) = 3\sin 3x - 4\sin^3 3x$
$3\sin 3x - 4\sin^3 3x = 2\sin 3x$
$\sin 3x - 4\sin^3 3x = 0$
$\sin 3x(1 - 4\sin^2 3x) = 0$
1) $\sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{3}$
2) $\sin^2 3x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 3x = \pm \frac{1}{2}$
$3x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ или $3x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$ или $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$
