109. M, N, P, K — середины сторон четырехугольника ABCD, AC ⊥ BD, MK = 12. Найдите NP.

Допущение: изображение повернуто на 90 градусов влево, текст условия распознан как задача по геометрии о четырехугольнике и его средних линиях. **Дано:** $ABCD$ — четырехугольник. $M, N, K, P$ — середины сторон $AD, AB, BC, CD$ соответственно. $AC \perp BD$. $MK = 12$. **Найти:** $NP$. **Решение:** 1. Соединим середины сторон четырехугольника. Полученный четырехугольник $MNKP$ является параллелограммом Вариньона. Его стороны параллельны диагоналям исходного четырехугольника $ABCD$ ($MN || BD$, $NK || AC$, $KP || BD$, $PM || AC$ как средние линии соответствующих треугольников). 2. Так как по условию диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны ($AC \perp BD$), то и стороны параллелограмма $MNKP$, параллельные им, также будут перпендикулярны друг другу ($MN \perp NK$, $NK \perp KP$ и т.д.). 3. Следовательно, четырехугольник $MNKP$ является прямоугольником. 4. Отрезки $MK$ и $NP$ являются диагоналями этого прямоугольника. По свойству прямоугольника, его диагонали равны. 5. Так как $MK = 12$, то $NP = MK = 12$. **Ответ: 12**