Постройте график функции f(x), где f(x) = { -3/x при x <= -1, -x + 2 при -1 < x <= 3, -x^2 + 8x - 16 при x > 3 }

Для решения задачи построим график функции $f(x)$ по частям: 1. На промежутке $x \le -1$ график функции $f(x) = -\frac{3}{x}$ — это гипербола, расположенная в II и IV четвертях. При $x = -1$, $f(x) = 3$. Точка $(-1, 3)$ включена. 2. На промежутке $-1 < x \le 3$ график функции $f(x) = -x + 2$ — это прямая. При $x = -1$, $f(x) = 3$ (выколотая точка). При $x = 3$, $f(x) = -3 + 2 = -1$. Точка $(3, -1)$ включена. 3. На промежутке $x > 3$ график функции $f(x) = -x^2 + 8x - 16 = -(x-4)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы в точке $x = 4$, $f(4) = 0$. При $x = 3$, $f(x) = -3^2 + 8(3) - 16 = -9 + 24 - 16 = -1$ (выколотая точка). Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие $m$, при которых она пересекает график ровно в одной точке. Анализ графика: - При $m > 3$ прямая пересекает гиперболу ($x \le -1$) в одной точке. Подходит. - При $m = 3$ прямая проходит через точку $(-1, 3)$ и не пересекает гиперболу слева (так как $y > 3$ для $x < -1$ невозможно) и не пересекает прямую $-x+2$. То есть, только одна общая точка. Подходит. - В диапазоне $(-1, 3)$, прямая пересекает и гиперболу, и линейную часть, и параболу. Здесь будет либо больше, либо меньше точек. Например, при $y=0$, $0 = -x^2+8x-16 \Rightarrow -(x-4)^2=0 \Rightarrow x=4$. Точка $(4,0)$ — одна общая точка. Но при $y=0$ прямая также пересекает прямую $y=-x+2$ в точке $x=2$. Значит, здесь две точки. - При $m = -1$, график имеет «разрыв» в точке $x=3$ (выколотая точка в линейной части и в параболе). Прямая $y=-1$ не имеет общих точек с линейной частью (так как точка $x=3$ выколота) и не имеет общих точек с параболой (так как $x>3$, а при $x=3$ $y=-1$). Стоп, при $x>3$, $-(x-4)^2$ всегда меньше $0$. При $x=3$ значение $-1$. То есть прямая $y=-1$ вообще не пересекает график. - При $m < -1$ прямая пересекает только параболу в одной точке. Таким образом, график имеет ровно одну общую точку с прямой $y=m$ при $m \ge 3$ и $m < -1$ (уточним: парабола имеет максимум в точке $(4, 0)$, значит при $m > 0$ парабола не пересекается, при $m=0$ одна точка $(4,0)$, при $m<0$ две точки параболы). Перепроверим: - $m \ge 3$: одна точка (на гиперболе). - $m = 0$: одна точка (вершина параболы $(4,0)$), так как при $y=0$ на линейной части $x=2$ (но линейная часть при $-1 < x \le 3$, $x=2$ входит), стоп, две точки. - $m < -1$: одна точка (на параболе). Ответ: $m < -1$ или $m \ge 3$.