sin x + (cos x/2 - sin x/2) * (cos x/2 + sin x/2) = 0 на интервале [pi; 5pi/2]

Решим уравнение $\sin x + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) \cdot (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) = 0$. 1. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) \cdot (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ 2. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, где $\alpha = \frac{x}{2}$: $\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos x$ 3. Подставим результат в исходное уравнение: $\sin x + \cos x = 0$ 4. Разделим обе части на $\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$): $\tan x + 1 = 0$ $\tan x = -1$ 5. Общее решение уравнения $\tan x = -1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 6. Отберем корни на интервале $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$: - При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$ (не входит в интервал) - При $n=2$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ (входит в интервал: $\pi \approx 3,14$, $\frac{7\pi}{4} \approx 5,5$, $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85$) - При $n=3$: $x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4}$ (не входит в интервал, так как $\frac{11}{4} = 2,75 > 2,5$) **Ответ:** $\frac{7\pi}{4}$