В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на высоте BD выбрана точка M. Докажите равенство треугольников AMD и CMD.

Решение задач: Задача 1: Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AC$ — основание. $BD$ — высота. $M$ лежит на $BD$. Доказать: $\triangle AMD = \triangle CMD$. Доказательство: 1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Значит, $AD = DC$, а $BD$ перпендикулярна $AC$ ($\angle ADM = \angle CDM = 90^\circ$). 2. Рассмотрим $\triangle AMD$ и $\triangle CMD$: - $AD = DC$ (так как $BD$ — медиана); - $\angle ADM = \angle CDM = 90^\circ$; - $MD$ — общая сторона. 3. $\triangle AMD = \triangle CMD$ по двум катетам (признак равенства прямоугольных треугольников). Задача 3: Дано: $\triangle MNK$, $MN = NK$. $A, B, C$ — середины $MK, MN, NK$ соответственно. Доказать: $\angle MBA = \angle KCA$. Доказательство: 1. Так как $MN = NK$, то $\triangle MNK$ — равнобедренный с основанием $MK$. Значит, $\angle M = \angle K$. 2. $B$ — середина $MN$, значит $MB = BN = 1/2 \cdot MN$. 3. $C$ — середина $NK$, значит $NC = CK = 1/2 \cdot NK$. Поскольку $MN = NK$, то $MB = BN = NC = CK$. 4. $A$ — середина $MK$, значит $MA = AK = 1/2 \cdot MK$. 5. Рассмотрим $\triangle MBA$ и $\triangle KCA$: - $MB = CK$ (доказано в п. 3); - $\angle M = \angle K$ (углы при основании равнобедренного треугольника); - $MA = KA$ (так как $A$ — середина $MK$). 6. $\triangle MBA = \triangle KCA$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle MBA = \angle KCA$. Что и требовалось доказать.