Дано: углы 1 и 2 относятся как 4 : 5. Найдите ∠1.

Допущение: углы 1 и 2 в задачах 1 и 2 являются смежными, так как они лежат на прямой линии. **Задача 1** Так как углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. Пусть $\angle 1 = 4x$, тогда $\angle 2 = 5x$. $4x + 5x = 180^\circ \Rightarrow 9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ$. $\angle 1 = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$. **Ответ: 80°** **Задача 2** Пусть $\angle 1 = x$, тогда $\angle 2 = x + 60^\circ$. $x + (x + 60^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 2x = 120^\circ \Rightarrow x = 60^\circ$. $\angle 1 = 60^\circ$. **Ответ: 60°** **Задача 3** Углы 1 и 2 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные, углы 2 и 4 — вертикальные. $\angle 1 = 35^\circ$. $\angle 3 = \angle 1 = 35^\circ$ (как вертикальные). $\angle 2 = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$ (как смежные). $\angle 4 = \angle 2 = 145^\circ$ (как вертикальные). $\angle 3 + \angle 4 = 35^\circ + 145^\circ = 180^\circ$. **Ответ: 180°** **Задача 4** Углы в сумме дают развернутый угол, то есть $180^\circ$. Пусть $\angle 1 = 5x, \angle 2 = 9x, \angle 3 = 4x$. $5x + 9x + 4x = 180^\circ \Rightarrow 18x = 180^\circ \Rightarrow x = 10^\circ$. $\angle 1 = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$. $\angle 2 = 9 \cdot 10^\circ = 90^\circ$. $\angle 3 = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$. **Ответ: 50°, 90°, 40°** **Задача 5** $\angle ABC = 180^\circ$ (развернутый угол). $\angle ABM + \angle MBC = 180^\circ \Rightarrow \angle ABM + 40^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle ABM = 140^\circ$. БК — биссектриса угла АВМ, следовательно, она делит угол пополам. $\angle ABK = \angle ABM / 2 = 140^\circ / 2 = 70^\circ$. **Ответ: 70°**