В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

14. Это задача на арифметическую прогрессию. Первый член $a_1 = 16$, разность $d = 2$, количество рядов $n = 14$. Сумма $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. $S_{14} = \frac{2 \cdot 16 + 2 \cdot (14-1)}{2} \cdot 14 = (16 + 13) \cdot 14 = 29 \cdot 14 = 406$. Ответ: 406 15. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$. $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 20 = 4 \cdot 20 = 80$. Ответ: 80 16. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. $r = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{12 \cdot 3}{6} = 6$. Ответ: 6 17. В трапеции $ABCD$ при $AB=CD$ (равнобедренная) углы при основаниях равны. Угол $ABD$ и $BDC$ — накрест лежащие, поэтому $\angle ABD = \angle BDC = 30^\circ$ (если $BC || AD$). Но по условию $\angle BDC = 110^\circ$, что противоречит определению параллельности. Возможно, опечатка в условии (трапеция может быть не равнобедренной, либо углы указаны иначе). Если предположить стандартную задачу на нахождение углов: сумма углов треугольника $180^\circ$, но данных недостаточно для однозначного ответа. 18. На клетчатой бумаге сторона параллелограмма, лежащая на горизонтальной линии, равна 4 клеткам. Высота к этой стороне — это перпендикуляр между горизонтальными прямыми, равный 3 клеткам. Другая сторона параллелограмма имеет длину, которую можно найти по теореме Пифагора $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$. Высота к этой стороне $h_2 = \frac{S}{a_2} = \frac{3 \cdot 4}{\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = 1.2\sqrt{10} \approx 3.79$. Большая высота — 4 (если брать перпендикуляр к стороне длиной 3, но здесь сетка), либо визуально высота перпендикулярна основанию, равная 3. Вероятнее всего, ответ 3. 19. Анализ утверждений: 1) Нет, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны или диагонали перпендикулярны. Равные диагонали у прямоугольника. 2) Нет, тангенс острого угла может быть больше единицы (например, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.73$). 3) Да, сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Ответ: 3