111. Один из углов треугольника равен 82°. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) 80°; 2) 83°?

111. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть внутренний угол при вершине равен $82^\circ$, а один из не смежных с ним углов — $x$. Тогда внешний угол $180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$ (смежный угол). Но внешний угол по определению равен сумме двух несмежных внутренних углов. Если один из них $82^\circ$, то внешний угол должен быть больше $82^\circ$. В условии вопрос про внешний угол, не смежный с углом $82^\circ$. Это означает, что $82^\circ$ — один из углов, не смежных с искомым внешним углом. Тогда внешний угол должен быть больше $82^\circ$. 1) $80^\circ < 82^\circ$ — невозможно. 2) $83^\circ > 82^\circ$ — возможно, если второй внутренний угол равен $83^\circ - 82^\circ = 1^\circ$. Ответ: 1) нет; 2) да. 112. Пусть углы треугольника, не смежные с внешним, равны $\alpha$ и $\beta$. Внешний угол равен $137^\circ$. Один из внутренних углов $28^\circ$. Тогда $\alpha + \beta = 137^\circ$. Пусть $\alpha = 28^\circ$, тогда $\beta = 137^\circ - 28^\circ = 109^\circ$. Второй угол равен $109^\circ$. Ответ: $109^\circ$. 113. Пусть углы $\alpha$ и $\beta$. Внешний угол равен $148^\circ$, значит $\alpha + \beta = 148^\circ$. По условию $\alpha - \beta = 36^\circ$. Решим систему: $\begin{cases} \alpha + \beta = 148 \\ \alpha - \beta = 36 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2\alpha = 184 \Rightarrow \alpha = 92^\circ$. Тогда $\beta = 148^\circ - 92^\circ = 56^\circ$. Третий угол треугольника равен $180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$. Ответ: $92^\circ, 56^\circ, 32^\circ$. 114. Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$. Пусть третий внешний угол $x$. Тогда $139^\circ + 87^\circ + x = 360^\circ \Rightarrow x = 360^\circ - 226^\circ = 134^\circ$. Ответ: $134^\circ$. 115. Пусть углы при основании $\alpha$ и $\alpha$ (равнобедренный), угол при вершине $\gamma$. Вариант 1: Угол при вершине $\gamma = \alpha + 24^\circ$. Сумма углов $2\alpha + \gamma = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha + \alpha + 24^\circ = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha = 156^\circ \Rightarrow \alpha = 52^\circ, \gamma = 76^\circ$. Вариант 2: Угол при основании $\alpha = \gamma + 24^\circ$. Тогда $2(\gamma + 24^\circ) + \gamma = 180^\circ \Rightarrow 3\gamma = 132^\circ \Rightarrow \gamma = 44^\circ, \alpha = 68^\circ$. Ответ: Два решения: $52^\circ, 52^\circ, 76^\circ$ или $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$. 116. В $\triangle DEF$ биссектрисы пересекаются в $O$. $\angle EOF = 180^\circ - (\angle OEF + \angle OFE) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle E + \angle F)$. Так как $\angle EOF = 115^\circ$, то $115^\circ = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle E + \angle F) \Rightarrow \frac{1}{2}(\angle E + \angle F) = 65^\circ \Rightarrow \angle E + \angle F = 130^\circ$. Тогда $\angle EDF = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. Ответ: $50^\circ$.