13 PT = TS ZT, ZTPS, ZTSP - ? 14 ZB = 53 ZCMB - ?

### Задача 13 Дано: $\triangle PTS$ — равнобедренный ($PT = TS$), $OM \perp PT$, $ON \perp TS$, $\angle MON = 130^\circ$. Найти: $\angle T, \angle TPS, \angle TSP$. 1. В четырехугольнике $TMON$ сумма углов равна $360^\circ$. Углы $\angle TMO = 90^\circ$ и $\angle TNO = 90^\circ$. $\angle T + 90^\circ + 130^\circ + 90^\circ = 360^\circ$. $\angle T + 310^\circ = 360^\circ \implies \angle T = 50^\circ$. 2. Треугольник $PTS$ равнобедренный, значит, углы при основании $PS$ равны: $\angle TPS = \angle TSP = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 130^\circ / 2 = 65^\circ$. **Ответ:** $\angle T = 50^\circ, \angle TPS = 65^\circ, \angle TSP = 65^\circ$. ### Задача 14 Дано: $\triangle ABC$. $CD \perp AB$, $BE \perp AC$. $\angle A = 65^\circ, \angle B = 53^\circ$. (Заметим: исходя из чертежа, $\angle A$ — это угол при вершине $A$ треугольника $ACE$ и всего треугольника $ABC$, а $65^\circ$ указан внутри). Найти: $\angle CMB$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ (угол $ADC = 90^\circ$): $\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$. 2. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$. Найдем угол $C$ (целиком): $\angle C = 180^\circ - 65^\circ - 53^\circ = 62^\circ$. 3. $\angle BCD = \angle C - \angle ACD = 62^\circ - 25^\circ = 37^\circ$. 4. В прямоугольном треугольнике $\triangle BDC$ (угол $BDC = 90^\circ$): $\angle CBD = 180^\circ - 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$. (Это подтверждает, что угол $B$ при вершине $C$ треугольника $ABC$ не совпадает с углом $B$ прямоугольного треугольника, пересчитаем через $M$): Точка $M$ — пересечение высот (ортоцентр). В треугольнике $\triangle DBC$, где $\angle BDC = 90^\circ$: $\angle DBC = 180^\circ - 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$. В треугольнике $\triangle MDB$ угол $\angle DMB = 180^\circ - 90^\circ - \angle MBD$. Однако проще через внешний угол: $\angle CMB$ является внешним для $\triangle BDM$ (если рассматривать $C, M, E$ как одну прямую). $\angle CMB = \angle MBD + \angle BDM = \angle MBD + 90^\circ$. Вернемся к $\triangle ABE$ ($90^\circ$): $\angle ABE = 180 - 90 - 65 = 25^\circ$. Тогда в $\triangle BDM$: $\angle MBD = 25^\circ$ (так как $E, M, C$ лежат на одной высоте). $\angle CMB = 90^\circ + 25^\circ = 115^\circ$. **Ответ:** $115^\circ$.