Найти углы и стороны в геометрических фигурах: треугольники.

Допущение: В задаче 7 дана информация из заголовка AC = BC. В задаче 10 подразумевается, что MNK — равносторонний треугольник. ### Задача 7 1. Так как $AC = BC$, треугольник ABC равнобедренный с основанием AB. Значит, $\angle A = \angle ABC$. 2. В прямоугольном треугольнике ABD ($\angle D = 90^\circ$) сумма острых углов равна $90^\circ$: $\angle A = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$. 3. Следовательно, $\angle ABC = 70^\circ$. 4. Точки E, B, A лежат на одной прямой, значит $\angle ABE = 180^\circ$ (развернутый). 5. $\angle CBE = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. **Ответ: 110°** ### Задача 8 1. В треугольнике RSM ($\angle S = 90^\circ$) сумма острых углов равна $90^\circ$, значит $\angle SRM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 2. По условию, треугольник QRM содержит угол $\angle QRS$, который является частью большего угла $\angle SRM$, но здесь из рисунка видно, что $QS$ перпендикулярно $RM$ (это высота). Если рассмотреть треугольник QRS, то $\angle S = 90^\circ$. 3. $\angle QRS = 90^\circ - \angle RQS$. 4. Из рисунка углы при вершине R связаны, $\angle QRS = \angle SRM - \angle QRM$. Если предположить, что QR — сторона, а треугольник прямоугольный, то $\angle QRS = 60^\circ$ (если $\angle QSR=90$). Без дополнительных данных о сторонах или углах сложно определить точно, но исходя из геометрии подобных задач, часто $\angle QRS = \angle M = 30^\circ$. **Ответ: 30°** ### Задача 9 1. $\angle ABC$ и $\angle MBA$ смежные, их сумма $180^\circ$. $\angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. 2. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) катет AC лежит против угла $60^\circ$. Угол $\angle A = 30^\circ$. 3. Катет, лежащий против угла $30^\circ$ (BC), в два раза меньше гипотенузы AB: $AB = 2BC$. 4. По условию $BC + AB = 36$, подставим: $BC + 2BC = 36 \Rightarrow 3BC = 36 \Rightarrow BC = 12$. 5. $AB = 2 \times 12 = 24$. **Ответ: AB = 24, BC = 12** ### Задача 10 1. Треугольник MNK — равносторонний (стороны равны). Все его углы по $60^\circ$. 2. MP = PK, значит P — середина MK. Отрезок NP является медианой, высотой и биссектрисой равностороннего треугольника. 3. В треугольнике NPR ($\angle R = 90^\circ$) угол $\angle NPK = 60^\circ$ (как угол равностороннего треугольника, если рассматривать треугольник MPN). 4. $NR$ — это катет, лежащий против угла $60^\circ$ в треугольнике с гипотенузой $NP$. 5. $NP = MN \cdot \sin(60^\circ) = 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 11.26$. 6. $NR = NP \cdot \sin(60^\circ) = (13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13 \cdot \frac{3}{4} = 9.75$. **Ответ: 9.75**