Докажите признак равенства треугольников по медиане и двум углам, на которые эта медиана разбивает угол треугольника.

### Доказательство признака равенства треугольников по медиане и двум прилежащим к ней углам **Дано:** $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. $AM$ и $A_1M_1$ — медианы. $AM = A_1M_1$, $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$, $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$. **Доказать:** $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. **Доказательство:** 1. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный $AM$. Соединим точки $C$ и $D$. Аналогично поступим в $\triangle A_1B_1C_1$, построив точку $D_1$ так, чтобы $A_1M_1 = M_1D_1$. 2. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle DCM$: - $AM = MD$ (по построению); - $BM = MC$ (так как $AM$ — медиана); - $\angle AMB = \angle DMC$ (вертикальные). Следовательно, $\triangle ABM = \triangle DCM$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle BAM = \angle CDM$. 3. Аналогично для второго треугольника: $\triangle A_1B_1M_1 = \triangle D_1C_1M_1$, откуда $A_1B_1 = C_1D_1$ и $\angle B_1A_1M_1 = \angle C_1D_1M_1$. 4. Теперь рассмотрим $\triangle ADC$ и $\triangle A_1D_1C_1$: - $AD = 2AM$, $A_1D_1 = 2A_1M_1$. Так как $AM = A_1M_1$, то $AD = A_1D_1$. - $\angle CAD = \angle BAM + \angle CAM$ и $\angle C_1A_1D_1 = \angle B_1A_1M_1 + \angle C_1A_1M_1$. По условию углы равны, значит $\angle CAD = \angle C_1A_1D_1$. - $\angle ADC = \angle CDM + \angle MDA$ (по построению). Так как $\angle CDM = \angle BAM = \angle B_1A_1M_1 = \angle C_1D_1M_1$, то $\angle ADC = \angle A_1D_1C_1$. 5. Значит, $\triangle ADC = \triangle A_1D_1C_1$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отсюда $AC = A_1C_1$ и $CD = C_1D_1$. Так как $CD = AB$ и $C_1D_1 = A_1B_1$, то $AB = A_1B_1$. 6. Так как $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (сумма равных углов), то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.