Найти PQ, если PR = RQ, а на рисунке изображен треугольник PQS с прямым углом S и углом PRQ = 120 градусов.

Дано: $\triangle PSR$ — прямоугольный ($\angle S = 90^\circ$), $PS = 7$. Точка $R$ лежит на отрезке $SQ$. $\angle PRQ = 120^\circ$, $PR = RQ$. Найти $PQ$. 1. Рассмотрим $\triangle PRQ$. Так как $PR = RQ$, треугольник равнобедренный с основанием $PQ$. Углы при основании равны: $\angle RPQ = \angle RQP$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Найдем их: $\angle RPQ = \angle RQP = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. 2. Рассмотрим $\triangle PSR$. Это прямоугольный треугольник. $\angle PRS = 180^\circ - \angle PRQ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Следовательно, $\angle SPR = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 3. В $\triangle PSR$ катет $PS$ лежит напротив угла $60^\circ$, значит $PS = PR \cdot \sin(60^\circ)$. $7 = PR \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow PR = \frac{14}{\sqrt{3}}$. Также можно использовать определение косинуса для угла $30^\circ$ ($PR = PS / \cos(30^\circ) = 7 / (\sqrt{3}/2) = 14/\sqrt{3}$). Так как $PR = RQ$, то $RQ = \frac{14}{\sqrt{3}}$. 4. Теперь рассмотрим $\triangle PQR$. По теореме косинусов для стороны $PQ$: $PQ^2 = PR^2 + RQ^2 - 2 \cdot PR \cdot RQ \cdot \cos(120^\circ)$. $PQ^2 = (14/\sqrt{3})^2 + (14/\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (14/\sqrt{3}) \cdot (14/\sqrt{3}) \cdot (-0.5)$. $PQ^2 = \frac{196}{3} + \frac{196}{3} + \frac{196}{3} = \frac{588}{3} = 196$. $PQ = \sqrt{196} = 14$. Ответ: 14.