sin 2x = √2 · sin(π/2 - x) [-3π; -3π/2]

Для решения уравнения $\sin 2x = \sqrt{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ на интервале $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ выполним следующие шаги: 1. Используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$: $\sin 2x = \sqrt{2} \cos x$ 2. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \cos x$ 3. Перенесем все в одну сторону: $2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0$ $\cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0$ 4. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: а) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 5. Отберем корни на интервале $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ (от $-9,42$ до $-4,71$): Корни серии $\frac{\pi}{2} + \pi k$: - При $k = -2: x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (входит) - При $k = -3: x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$ (входит) - При $k = -4: x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$ (не входит) Корни серии $(-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$: - При $n = -1: x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4} = -1,25\pi$ (не входит, т.к. $-1,25\pi > -1,5\pi$) - При $n = -2: x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} = -1,75\pi$ (входит, т.к. $-3\pi \le -1,75\pi \le -1,5\pi$) - При $n = -3: x = -\frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{13\pi}{4} = -3,25\pi$ (не входит) Ответ: $-\frac{5\pi}{2}, -\frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{2}$.