Задача 12. В треугольнике ABC угол A равен 70°, угол C равен 40°. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D. Найдите угол BDC.

Задача 12. В треугольнике $ABC$ сумма углов $A + B + C = 180^{\circ}$. $70^{\circ} + \angle B + 40^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle B = 70^{\circ}$. Так как $BD$ — биссектриса, то $\angle ABD = \angle DBC = 35^{\circ}$. В треугольнике $BDC$ сумма углов $180^{\circ}$: $\angle BDC + 35^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$. $\angle BDC = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$. Ответ: $105^{\circ}$. Задача 13. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AC$ — основание) биссектриса $BD$ является также высотой и медианой. Значит, $\angle BDC = 90^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle BDC$: $\angle C = 90^{\circ} - \angle DBC$. Так как $BD$ — биссектриса, то $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Тогда $\angle C = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 60^{\circ}$. Внешний угол при вершине $C$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Ответ: $120^{\circ}$. Задача 14. Треугольники $AOC$ и $BOD$ равны по двум сторонам ($AO=OB, CO=OD$) и вертикальным углам ($\angle AOC = \angle BOD$). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: $\angle BOD = \angle AOC = 50^{\circ}$. Углы $AOD$ и $AOC$ смежные, их сумма $180^{\circ}$. $\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$. Ответ: $130^{\circ}$. Задача 15. В треугольнике $ABC$: $\angle A = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ}$. Так как $AD = CD$, треугольник $ADC$ — равнобедренный, значит $\angle DAC = \angle DCA = 50^{\circ}$. $\angle BAD = \angle A - \angle DAC = 60^{\circ} - 50^{\circ} = 10^{\circ}$. Ответ: $10^{\circ}$. Задача 16. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Так как они равносторонние, все углы в них по $60^{\circ}$. Пусть $O$ — точка пересечения $AB$ и $CD$. В $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ имеем $\angle CAB = 60^{\circ}, \angle DAB = 60^{\circ}$. Тогда $\angle CAD = \angle CAB + \angle DAB = 120^{\circ}$. Треугольник $ACD$ равнобедренный, так как $AC=AD$. $\angle ACD = \angle ADC = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$. В $\triangle ACO$ угол $\angle AOC = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 90^{\circ}$. Значит, прямые пересекаются под углом $90^{\circ}$. Ответ: $90^{\circ}$.