Угол HRO равен 6°, где O — центр окружности. Его сторона RH касается окружности в точке H. Сторона RO пересекает окружность в точке S. Найдите величину меньшей дуги HS окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

1. Угол $HRO$ — это угол между касательной $RH$ и секущей $RO$. Так как $RH$ — касательная, угол между ней и радиусом $OH$ равен $90^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle OHS$. Он равнобедренный, так как $OH = OS$ (радиусы окружности). В треугольнике $\triangle OHS$: угол $HOS = 6^\circ$. Тогда углы при основании $OHS = OSH = (180^\circ - 6^\circ) / 2 = 174^\circ / 2 = 87^\circ$. Угол между касательной $RH$ и хордой $HS$ равен $90^\circ - 87^\circ = 3^\circ$. Величина дуги, стягиваемой хордой, равна удвоенному углу между касательной и хордой: $2 \cdot 3^\circ = 6^\circ$. Ответ: 6 2. Обозначим векторы: первый начинается в $(0, 3)$ и заканчивается в $(-1, 4)$, его координаты $\vec{a} = (-1-0; 4-3) = (-1, 1)$. Второй вектор начинается в $(0, -1)$ и заканчивается в $(2, 2)$, его координаты $\vec{b} = (2-0; 2-(-1)) = (2, 3)$. Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1$. Ответ: 1 3. Многогранник $MSDM_1D_1$ — это призма с основаниями $MSD$ и $M_1S_1D_1$ или пирамида? Условие говорит о вершинах $M, S, D, M_1, D_1$ правильной треугольной призмы. Объем полной призмы $V = S_{осн} \cdot h = 17 \cdot 42 = 714$. Данный многогранник является частью призмы. Площадь основания $S_{MSD}$ составляет $1/3$ от площади полной призмы (так как $MSD$ — треугольник, а основание призмы тоже треугольник). Фигура $MSDM_1D_1$ — это призма с основанием $MSD$ и высотой, равной боковому ребру. Объем $V = S_{осн} \cdot h = 17 \cdot 42 = 714$. Ответ: 714 4. Всего исходов при броске двух монет: 4 (ОО, ОР, РО, РР). Исходы, где решка (Р) выпала хотя бы раз: (ОР, РО, РР) — 3 исхода. Вероятность $P = 3/4 = 0,75$. Ответ: 0,75 5. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. События «температура ниже 36,7» и «температура 36,7 или выше» — противоположные. $P = 1 - 0,954 = 0,046$. Ответ: 0,046 6. $(1/5)^{-10x-3} = 5^x$. Запишем $1/5$ как $5^{-1}$: $(5^{-1})^{-10x-3} = 5^x$. Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $5^{10x+3} = 5^x$. Приравниваем показатели: $10x + 3 = x$. Переносим $x$: $9x = -3$. $x = -3/9 = -1/3$. Ответ: -1/3 7. Преобразуем $(81^8)^2 : (9^5)^6$. $81 = 9^2$. $( (9^2)^8 )^2 : 9^{30} = (9^{16})^2 : 9^{30} = 9^{32} : 9^{30} = 9^{32-30} = 9^2 = 81$. Ответ: 81