1. OK — ?

1. Треугольник MNK вписан в окружность, MN — диаметр, значит угол MKN = 90 градусов. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике MKN: MN^2 = MK^2 + KN^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625. MN = 25. Радиус OK = MN / 2 = 12,5. 2. Пусть точки касания на сторонах RL, RK и KL — D, E, F соответственно. KL=35. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Пусть RD=RE=x=8 (радиус). Тогда RK=8+y, RL=8+z, KL=y+z=35. Периметр P = RK + RL + KL = (8+y) + (8+z) + 35 = 16 + (y+z) + 35 = 16 + 35 + 35 = 86. 3. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки: BN=BK=12, AM=AK=18, CN=CM=x. Периметр P = (BN+BK) + (AM+AK) + (CN+CM) = 12+12+18+18+2x. Для прямоугольного треугольника со вписанной окружностью радиуса r, x = r. На рисунке радиус явно не задан, но стороны треугольника 12+18=30, 12+x, 18+x. По теореме Пифагора: (12+x)^2 + (18+x)^2 = 30^2. 144+24x+x^2 + 324+36x+x^2 = 900. 2x^2 + 60x - 432 = 0. x^2 + 30x - 216 = 0. Дискриминант = 900 - 4(-216) = 1764. x = (-30 + 42) / 2 = 6. Стороны: 18, 24, 30. Периметр = 18+24+30 = 72. 4. Вписанная окружность радиуса r=3 касается сторон ML и LK. По свойству прямоугольного треугольника, r = (a+b-c)/2, где a, b — катеты, c — гипотенуза. ML+LK=21, т.е. a+b=21. 3 = (21-c)/2 => 6 = 21-c => c = 15. Периметр P = a+b+c = 21+15 = 36. 5. MK=4, NL=5, OK=6. L — проекция N на MK. Треугольник MNK, NL высота. NK^2 = NL^2 + LK^2. Из треугольника NLK: NL^2 = NK^2 - LK^2. В окружности с центром O и радиусом R, OK=R=6. NK^2 = (R+L_proj)^2... Данных недостаточно, скорее всего задача на свойство хорд или степеней точки. Если O — центр, то K на окружности. NK^2 = (2R)^2 - MK^2. Не хватает данных. 6. Центральный угол MOB = 120 градусов (дуга MB = 120). Треугольник MOB равнобедренный (OM=OB=R), угол MBO = (180-120)/2 = 30 градусов. В треугольнике AMB стороны равны 6*sqrt(3). По теореме синусов для треугольника AMB: AM/sin(30) = AB/sin(120) => AM = 6*sqrt(3) * (1/2) / (sqrt(3)/2) = 6. Радиус R = AB / (2*sin(angle_AMB)). Угол ACB = 60 градусов (вписанный, опирается на дугу 120). R = (6*sqrt(3)) / (2 * sin(60)) = (6*sqrt(3)) / (2 * sqrt(3)/2) = 6. OB = 6. 7. В прямоугольном треугольнике EKF, угол F=30 градусов. EO — радиус вписанной окружности, EO=20. Радиус r = k * tg(alpha/2). В треугольнике EKF: r = KF * tg(30/2). r = EK * tg(90/2) неверно. KF = EK / tg(30). EK = r + x, KF = r + y. r = 20. KF = 20 * ctg(15) = 20 * (2 + sqrt(3)) = 40 + 20*sqrt(3). 8. AC=CB (хорды равны), дуги AC=CB. Треугольник ACB вписан. AB — хорда. AO=25 (радиус). Треугольник AOB равнобедренный. По теореме косинусов в треугольнике AOB с известной стороной AB=48 можно найти углы, но не AC. Задача на подобие или свойства вписанных углов.