Через точки M и N, делящие сторону AB треугольника ABC на три равные части, проведены прямые, параллельные стороне BC. Найдите площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна 1.

Question

Вопрос:

Через точки M и N, делящие сторону AB треугольника ABC на три равные части, проведены прямые, параллельные стороне BC. Найдите площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна 1.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S = 1$. 1. Точки $M$ и $N$ делят сторону $AB$ на три равные части. Обозначим $AM = MN = NB = \frac{1}{3}AB$. 2. Через точки $M$ и $N$ проведены прямые, параллельные $BC$. Пусть они пересекают $AC$ в точках $M_1$ и $N_1$ соответственно. 3. Образуются три подобных треугольника: - $\triangle AM_1M$ (с вершиной $A$) - $\triangle AN_1N$ (с вершиной $A$) - $\triangle ABC$ Коэффициенты подобия этих треугольников относительно $\triangle ABC$ равны: - $k_1 = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} \implies S_{AM_1M} = S \cdot (\frac{1}{3})^2 = 1 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$ - $k_2 = \frac{AN}{AB} = \frac{2}{3} \implies S_{AN_1N} = S \cdot (\frac{2}{3})^2 = 1 \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$ 4. Площадь части, заключенной между этими прямыми (трапеции $MNN_1M_1$), равна разности площадей треугольников $AN_1N$ и $AM_1M$: $S_{trap} = S_{AN_1N} - S_{AM_1M} = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Ответ: 1/3

Ответ ассистента

Другие решения