6. Все натуральные числа от 1 до 14^2 последовательно в порядке возрастания расставлены в клетки таблицы размером 14x14. Как нужно вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была бы четной?

### Задача 6 Пусть $n=14$. Сумма всех чисел в таблице от $1$ до $n^2$ равна $S = \frac{n^2(n^2+1)}{2}$. В нашем случае $S = \frac{196 \cdot 197}{2} = 98 \cdot 197 = 19306$. Это число четное. Пусть мы вычеркиваем $i$-ю строку (все числа в ней имеют вид $(i-1)n + k$, где $k=1, \dots, n$) и $j$-й столбец (все числа в нем имеют вид $(m-1)n + j$, где $m=1, \dots, n$). Сумма чисел в $i$-й строке: $S_{str} = n(i-1) + \frac{n(n+1)}{2}$. Сумма чисел в $j$-м столбце: $S_{st} = n\frac{n(n-1)}{2} + nj = \frac{n^2(n-1)}{2} + nj$. Число, стоящее на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца, входит в обе суммы, поэтому сумма удаляемых чисел $S_{del} = S_{str} + S_{st} - ((i-1)n + j)$. $S_{del} = n(i-1) + \frac{n^2+n}{2} + \frac{n^3-n^2}{2} + nj - (i-1)n - j = \frac{n^2+n+n^3-n^2}{2} + j(n-1) = \frac{n^3+n}{2} + j(n-1)$. Так как $n=14$ — четное, то $\frac{n^3+n}{2} = \frac{14^3+14}{2} = 1379$ (нечетное число). Также $(n-1) = 13$ (нечетное). Значит, $S_{del} = 1379 + 13j$. Чтобы сумма оставшихся чисел $(S - S_{del})$ была четной, нужно, чтобы $S_{del}$ было четным (так как $S$ четно). $1379 + 13j$ четно, если $13j$ нечетно, что выполняется при любом нечетном $j$. **Ответ:** Нужно вычеркнуть любую строку и любой столбец с нечетным номером $j$ (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13). ### Задача 7 Пусть эти три числа равны $x, x+1, x+2$. Их сумма равна $S = 3x+3$. Данные числа: $a-b+2003, b-c+2003, c-a+2003$. Их сумма: $(a-b+2003) + (b-c+2003) + (c-a+2003) = 2003 + 2003 + 2003 = 6009$. Тогда $3x+3 = 6009 \Rightarrow 3x = 6006 \Rightarrow x = 2002$. Числа равны $2002, 2003, 2004$. Так как это последовательные числа, их можно упорядочить по-разному. Рассмотрим разности: Пусть $a-b+2003 = 2002$, $b-c+2003 = 2003$, $c-a+2003 = 2004$. Тогда $a-b = -1$, $b-c = 0 \Rightarrow b=c$, $c-a = 1$. Система $b=c$ и $a-b=-1$ (или $b-a=1$) удовлетворяет условию (например, $a=100, b=101, c=101$). **Ответ:** 2002, 2003, 2004.