9(4). Решите систему уравнений {\sqrt{5x - 2y} + \sqrt{5x + 2y} = 34, \sqrt{25x^2 - 4y^2} = 273.

Для решения системы введем замену переменных: Пусть $a = \sqrt{5x - 2y}$ и $b = \sqrt{5x + 2y}$. Тогда система примет вид: 1) $a + b = 34$ 2) $\sqrt{25x^2 - 4y^2} = \sqrt{(5x-2y)(5x+2y)} = \sqrt{a^2 \cdot b^2} = ab = 273$ У нас есть система: $\begin{cases} a + b = 34 \\ ab = 273 \end{cases}$ По теореме Виета $a$ и $b$ являются корнями уравнения $t^2 - 34t + 273 = 0$. Дискриминант: $D = 34^2 - 4 \cdot 273 = 1156 - 1092 = 64 = 8^2$ Корни: $t_{1,2} = \frac{34 \pm 8}{2}$ $t_1 = 21$ $t_2 = 13$ То есть либо $\begin{cases} a = 21 \\ b = 13 \end{cases}$, либо $\begin{cases} a = 13 \\ b = 21 \end{cases}$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $a^2 = 5x - 2y$ $b^2 = 5x + 2y$ Сложим и вычтем уравнения: $a^2 + b^2 = (5x - 2y) + (5x + 2y) = 10x \Rightarrow x = \frac{a^2 + b^2}{10}$ $b^2 - a^2 = (5x + 2y) - (5x - 2y) = 4y \Rightarrow y = \frac{b^2 - a^2}{4}$ Случай 1: $a = 21, b = 13$ $x = \frac{21^2 + 13^2}{10} = \frac{441 + 169}{10} = \frac{610}{10} = 61$ $y = \frac{13^2 - 21^2}{4} = \frac{169 - 441}{4} = \frac{-272}{4} = -68$ Случай 2: $a = 13, b = 21$ $x = \frac{13^2 + 21^2}{10} = \frac{169 + 441}{10} = 61$ $y = \frac{21^2 - 13^2}{4} = \frac{441 - 169}{4} = \frac{272}{4} = 68$ Ответ: $(61; -68), (61; 68)$.