Ось гладкой полусферической лунки радиусом R = 40 см вертикальна. Маленькое тело соскальзывает без начальной скорости от верхнего края лунки. Какую скорость оно будет иметь в точках, в которых радиус, проведённый к телу из центра лунки, составляет угол α = 30° с горизонтом?

Для решения воспользуемся законом сохранения механической энергии. Так как поверхность лунки гладкая (трение отсутствует), полная механическая энергия тела сохраняется. 1. В начальный момент тело находится на краю лунки (на высоте $R$ от нижней точки). Начальная скорость $v_0 = 0$. Полная энергия равна потенциальной энергии в поле тяжести: $E_1 = mgR$ 2. В искомой точке тело находится на высоте $h$ от дна лунки. Пусть $\alpha$ — угол между радиусом, проведенным к телу, и горизонтом. Тогда вертикальное смещение тела от края лунки вниз равно $R \cdot \sin(\alpha)$. Высота тела над дном лунки: $h = R - R \cdot \sin(\alpha) = R(1 - \sin(\alpha))$ 3. Запишем выражение для энергии в этой точке (сумма кинетической и потенциальной энергии): $E_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \sin(\alpha))$ 4. Приравняем энергии ($E_1 = E_2$): $mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \sin(\alpha))$ $mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR - mgR \cdot \sin(\alpha)$ $0 = \frac{mv^2}{2} - mgR \cdot \sin(\alpha)$ $\frac{v^2}{2} = gR \cdot \sin(\alpha)$ $v = \sqrt{2gR \cdot \sin(\alpha)}$ 5. Подставим значения: $R = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$ $g = 10 \text{ м/с}^2$ $\alpha = 30^{\circ}, \sin(30^{\circ}) = 0.5$ $v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.4 \cdot 0.5} = \sqrt{4} = 2 \text{ м/с}$ Ответ: 2.0 м/с.