Дано: AB = EF, CF = AD, CB = DE, ∠BCF = 85° (рис. 2.143). Найти: ∠ADB.

Задание 2 (верхнее): Так как AB = EF, CB = DE и AD = CF (откуда следует AC = DF, так как AC = AD + DC и DF = CF + CD), то треугольники ABC и EFD равны по трем сторонам (III признак). Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: ∠ACB = ∠EFD. В данной конфигурации углы ∠ADB и ∠BCF связаны равенством. Ответ: ∠ADB = 85°. Задание 3 (верхнее): Треугольники ABC и AMC равнобедренные с общим основанием AC. Это значит, что вершины B и M равноудалены от концов основания A и C. Точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Следовательно, прямая BM является серединным перпендикуляром к AC и пересекает его в середине. II уровень, задание 1: Аналогично предыдущей задаче, так как ΔABC и ΔADC равнобедренные с общим основанием AC, точки B и D лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AC. Значит, прямая BD перпендикулярна AC (BD ⊥ AC). II уровень, задание 2: 1. Отрезки AP, PQ, QB равны, значит AQ = AP + PQ = 2x, BP = BQ + PQ = 2x. 2. Рассмотрим ΔACQ и ΔBDP: AC = BD (дано), CQ = DP (дано), AQ = BP = 2x. Треугольники равны по III признаку. 3. Из равенства треугольников следует ∠CQA = ∠DPB. 4. Сумма углов 140°, значит 2 * ∠DPB = 140°. Ответ: ∠DPB = 70°, ∠CQA = 70°. II уровень, задание 3: 1. Так как AB = BC и A1B1 = B1C1, и AB = A1B1, то BC = B1C1. 2. Точки M и M1 — середины, значит BM = 0,5 * BC, B1M1 = 0,5 * B1C1. Следовательно, BM = B1M1. 3. ΔABM = ΔA1B1M1 по III признаку (AB=A1B1, AM=A1M1, BM=B1M1). 4. Из равенства следует ∠B = ∠B1. 5. ΔABC = ΔA1B1C1 по I признаку (AB=A1B1, BC=B1C1, ∠B = ∠B1). Доказано.