58. Докажите, что: а) выражение (a + b)^2 / ab - (a - b)^2 / ab тождественно равно 4; б) выражение (a + b)^2 / (a^2 + b^2) + (a - b)^2 / (a^2 + b^2) тождественно равно 2.

Question

Вопрос:

58. Докажите, что: а) выражение (a + b)^2 / ab - (a - b)^2 / ab тождественно равно 4; б) выражение (a + b)^2 / (a^2 + b^2) + (a - b)^2 / (a^2 + b^2) тождественно равно 2.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для доказательства тождеств воспользуемся формулами сокращенного умножения: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. а) $\frac{(a + b)^2}{ab} - \frac{(a - b)^2}{ab} = \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{ab} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{ab} = \frac{4ab}{ab} = 4$. Тождество доказано. б) $\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a - b)^2}{a^2 + b^2} = \frac{(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} = \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2$. Тождество доказано.

58. Докажите, что: а) выражение (a + b)^2 / ab - (a - b)^2 / ab тождественно равно 4; б) выражение (a + b)^2 / (a^2 + b^2) + (a - b)^2 / (a^2 + b^2) тождественно равно 2.

Ответ ассистента

Другие решения