3.1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x-2a)/(x+2) + (x-1)/(x-a) = 1 имеет ровно один корень.

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю: $x \neq -2$ и $x \neq a$. $\frac{x-2a}{x+2} + \frac{x-1}{x-a} = 1$ Умножим обе части уравнения на $(x+2)(x-a)$: $(x-2a)(x-a) + (x-1)(x+2) = (x+2)(x-a)$ $x^2 - ax - 2ax + 2a^2 + x^2 + 2x - x - 2 = x^2 - ax + 2x - 2a$ $2x^2 - 3ax + 2a^2 + x - 2 = x^2 - ax + 2x - 2a$ $x^2 - 2ax - x + 2a^2 + 2a - 2 = 0$ $x^2 - (2a+1)x + (2a^2 + 2a - 2) = 0$ Это квадратное уравнение. Чтобы оно имело ровно один корень, возможны два случая: 1. Дискриминант уравнения равен 0: $D = (2a+1)^2 - 4(2a^2+2a-2) = 4a^2+4a+1 - 8a^2 - 8a + 8 = -4a^2 - 4a + 9$ $-4a^2 - 4a + 9 = 0 \Rightarrow 4a^2 + 4a - 9 = 0$ $a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 144}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}$ При этих значениях $a$ уравнение имеет один корень, если этот корень не равен $-2$ или $a$. Проверка показывает, что корни допустимы. 2. Квадратное уравнение имеет два корня, но один из них является посторонним (равен $-2$ или $a$). - Если корень равен $-2$, подставим в уравнение: $(-2)^2 - (2a+1)(-2) + 2a^2 + 2a - 2 = 0 \Rightarrow 4 + 4a + 2 + 2a^2 + 2a - 2 = 0 \Rightarrow 2a^2 + 6a + 4 = 0 \Rightarrow a^2 + 3a + 2 = 0 \Rightarrow a = -1, a = -2$. - Если корень равен $a$, подставим в уравнение: $a^2 - (2a+1)a + 2a^2 + 2a - 2 = 0 \Rightarrow a^2 - 2a^2 - a + 2a^2 + 2a - 2 = 0 \Rightarrow a^2 + a - 2 = 0 \Rightarrow (a+2)(a-1) = 0 \Rightarrow a = -2, a = 1$. Проверим найденные значения: - При $a = -2$: уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$, корни $-1$ и $-2$. Так как знаменатель не может быть равен $-2$, остается один корень $x = -1$. Подходит. - При $a = 1$: уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$, корни $1$ и $2$. Так как знаменатель не может быть равен $a=1$, остается один корень $x = 2$. Подходит. - При $a = -1$: уравнение $x^2 - (-1)x + (-2) = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$, корни $1$ и $-2$. Знаменатель не может быть $-2$, остается один корень $x = 1$. Подходит. **Ответ:** $a \in \{ \frac{-1-\sqrt{10}}{2}; \frac{-1+\sqrt{10}}{2}; -2; 1; -1 \}$