Решите неравенство $x^2 \log_{512}(4-x) \geq \log_2(x^2 - 8x + 16)$

Для решения неравенства $x^2 \log_{512}(4-x) \geq \log_2(x^2 - 8x + 16)$ выполним следующие шаги: 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** - Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$ $x^2 - 8x + 16 > 0 \Rightarrow (x - 4)^2 > 0$. Это верно при $x \neq 4$. - Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < 4$. 2. **Преобразование неравенства:** - Заметим, что $512 = 2^9$. Используем формулу перехода к другому основанию или свойство $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$: $\log_{512}(4 - x) = \log_{2^9}(4 - x) = \frac{1}{9} \log_2(4 - x)$. - Заметим, что $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$. Поскольку $x < 4$, то $(x - 4)^2 = (4 - x)^2$. - Исходное неравенство принимает вид: $x^2 \cdot \frac{1}{9} \log_2(4 - x) \geq \log_2((4 - x)^2)$ - Используем свойство логарифма степени $\log_2((4 - x)^2) = 2 \log_2(4 - x)$: $\frac{x^2}{9} \log_2(4 - x) \geq 2 \log_2(4 - x)$ $\frac{x^2}{9} \log_2(4 - x) - 2 \log_2(4 - x) \geq 0$ $(\frac{x^2}{9} - 2) \log_2(4 - x) \geq 0$ 3. **Решение методом интервалов:** - Множитель $\frac{x^2 - 18}{9} \geq 0$ при $x^2 \geq 18 \Rightarrow x \in (-\infty; -3\sqrt{2}] \cup [3\sqrt{2}; +\infty)$. - Множитель $\log_2(4 - x) \geq 0$ при $4 - x \geq 1 \Rightarrow x \leq 3$. - Рассмотрим знаки выражения $f(x) = (x^2 - 18) \log_2(4 - x)$ с учетом ОДЗ $x < 4$: - Точки пересечения с нулем: $x = -3\sqrt{2} \approx -4.24$, $x = 3\sqrt{2} \approx 4.24$ (не входит в ОДЗ), $x = 3$. - Проверка интервалов на $(-\infty; 4)$: 1. $x \in (-\infty; -3\sqrt{2}]$: $(+) \cdot (+) = (+) \geq 0$. (Подходит) 2. $x \in [-3\sqrt{2}; 3]$: $(-) \cdot (+) = (-) \leq 0$. (Не подходит) 3. $x \in [3; 4)$: $(+) \cdot (-) = (-) \leq 0$. (Не подходит, так как $3\sqrt{2} > 3$, функция $\log_2(4-x)$ отрицательна при $x > 3$). **Ответ:** $x \in (-\infty; -3\sqrt{2}]$.