АВСD — параллелограмм. Найти:∠С, ∠Д.

1. АВСD — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Треугольник АВЕ равнобедренный (АВ=ВЕ), значит углы при основании равны: угол ВАЕ = углу ВЕА = 30°. Тогда угол АВЕ = 180° - 30° - 30° = 120°. Так как АВСD — параллелограмм, угол D = угол В = 120°. Угол С = 180° - 120° = 60°. Ответ: ∠С = 60°, ∠D = 120°. 2. МNКР — параллелограмм. В треугольнике МNЕ (прямоугольный, так как высота NE перпендикулярна МР): МN = 10, NЕ = 2. sin(∠NМЕ) = NЕ / МN = 2 / 10 = 0,2. Тогда МЕ = √(МN² - NЕ²) = √(100 - 4) = √96 = 4√6. МР = МЕ + ЕР. В прямоугольном треугольнике NЕР: угол NРЕ = 90° - 60° = 30°. Тогда ЕР = NЕ / tg(30°) = 2 / (1/√3) = 2√3. МР = 4√6 + 2√3. РК = МN = 10 (так как это параллелограмм). Ответ: МР = 4√6 + 2√3, РК = 10. 3. АВСD — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник ВОС. Так как ВО=ОС, треугольник равнобедренный. Угол ОСВ = 60°. Тогда угол ОВС = 60°. Угол ВОС = 180° - 60° - 60° = 60°. Угол АОВ = 180° - угол ВОС (смежные) = 180° - 60° = 120°. Ответ: ∠АОВ = 120°, ∠ВОС = 60°. 4. АВСD — прямоугольник. АВ = 4. В треугольнике АВЕ (прямоугольный, так как угол АВЕ = 90°): АЕ = АВ / sin(∠АЕВ) = 4 / sin(75°) (здесь требуется уточнение, так как угол 75° может быть ошибкой в условии, либо подразумевается что Е лежит на СD, но чертеж показывает другое). Если предположить стандартные значения: в прямоугольном треугольнике АВЕ: АВ=4, ЕD=6. Если АВСD — прямоугольник, то АВ = СD = 4. Треугольник АВЕ прямоугольный, угол АЕВ=75°, значит угол ВАЕ=15°. Это не является стандартной школьной задачей с такими данными. Задание требует уточнения данных на чертеже. 5. АВСМ — равнобедренная трапеция (по чертежу). АМ=7, ВС=5. Опустим высоты ВК и СР. КР = ВС = 5. АМ = АК + КР + РМ. Так как трапеция равнобедренная, АК = РМ = (7 - 5) / 2 = 1. В прямоугольном треугольнике АВК: угол А = 60°, АК = 1. ВК = АК * tg(60°) = √3. В треугольнике СМР: угол М = 60°, РМ = 1. СР = РМ * tg(60°) = √3. СМ = √(СР² + РМ²) = √(3 + 1) = 2. Ответ: СМ = 2. 6. АВСD — ромб. Угол А = 60°. Треугольник АВD — равнобедренный (АВ=АD). Угол А = 60°, значит треугольник равносторонний. ВD = АВ = АD. Высота ВМ делит АD пополам: АМ=МD. В треугольнике АВМ: угол А=60°, угол АМВ=90°. АМ = АВ / 2. Если обозначить сторону ромба как 'а', то МD = а/2. В треугольнике ВСN (прямоугольный): NС = а * cos(∠BCN) = a * cos(60°) = a/2. ДN = DС - NС = a - a/2 = a/2. Сумма МD + ДN = a/2 + a/2 = а. Ответ: МD + ДN = сторона ромба. 7. АВСD — ромб. Диагональ АС делит углы ромба пополам. Угол DАС = 35°. Треугольник АЕС (прямоугольный, Е — высота): угол А = 35°. Угол АСЕ = 90° - 35° = 55°. В ромбе диагонали перпендикулярны, значит угол АВС не находится напрямую без знания сторон. Однако, сумма углов ромба при одной стороне = 180°. Угол А = 70°. Угол В = 180° - 70° = 110°. Ответ: ∠АВС = 110°.