11. Спростіть вираз cos(α + β)cosα + sin(α + β)sinα. Обчисліть його значення, якщо sin α = 1/sqrt(5), sin β = sqrt(15)/4 ; α і β ∈ (0; π/2).

### Решение задания №11 Дано: $\cos(\alpha + \beta)\cos\alpha + \sin(\alpha + \beta)\sin\alpha$, при $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin\beta = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\alpha, \beta \in (0; \frac{\pi}{2})$. 1. Используем формулу косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. В нашем случае $x = \alpha + \beta$, $y = \alpha$. $\cos((\alpha + \beta) - \alpha) = \cos(\alpha + \beta - \alpha) = \cos\beta$. 2. Так как $\alpha, \beta \in (0; \frac{\pi}{2})$, значения $\cos\beta$ положительны. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$: $\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{15}}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$. **Ответ: 0,25** ### Решение задания №12 Упростить выражение: $\frac{\sin 8\alpha \cos 2\alpha - \cos 8\alpha \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha \cos 4\alpha - \sin 2\alpha \sin 4\alpha}$. Вычислить, если $\alpha = 22,5^\circ$. 1. Используем формулы синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ и косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$: - Числитель: $\sin 8\alpha \cos 2\alpha - \cos 8\alpha \sin 2\alpha = \sin(8\alpha - 2\alpha) = \sin 6\alpha$. - Знаменатель: $\cos 2\alpha \cos 4\alpha - \sin 2\alpha \sin 4\alpha = \cos(2\alpha + 4\alpha) = \cos 6\alpha$. 2. Получаем выражение: $\frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha} = \operatorname{tg} 6\alpha$. 3. Подставим $\alpha = 22,5^\circ$: $6 \times 22,5^\circ = 135^\circ$. $\operatorname{tg} 135^\circ = -1$. **Ответ: -1**