В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный, и укажите его основание. б) BM – высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC.

Решение заданий для Варианта А1: ### Задание 1 **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 55^\circ$. **а)** Найдем угол $B$: $\angle B = 180^\circ - (70^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$. Так как $\angle C = \angle B = 55^\circ$, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. **б)** $BM$ — высота, значит $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$. В прямоугольном $\triangle ABM$: $\angle ABM = 180^\circ - (90^\circ + 70^\circ) = 20^\circ$. В прямоугольном $\triangle CBM$: $\angle CBM = 180^\circ - (90^\circ + 55^\circ) = 35^\circ$. Высота делит угол $ABC$ на углы $20^\circ$ и $35^\circ$. ### Задание 2 **Дано:** $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, $O$ — середина каждого ($AO=OB$, $CO=OD$). **а)** Рассмотрим $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$: $AO=OB$ (по условию), $CO=OD$ (по условию), $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные). Значит, $\triangle AOC = \triangle BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). **б)** Из равенства треугольников следует $\angle OAC = \angle OBD$. Мы знаем $\angle ODB = 20^\circ$, но эти углы не обязательно равны. Однако, из того же равенства, $\triangle AOC = \triangle BOD$, следует равенство всех соответственных углов: $\angle OAC = \angle OBD$, $\angle ACO = \angle ODB = 20^\circ$, $\angle AOC = \angle BOD = 115^\circ$. В $\triangle AOC$: $\angle OAC = 180^\circ - (115^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. ### Задание 3 **Дано:** Периметр $P = 64$ см, одна сторона $a = 16$ см. Рассмотрим два случая для равнобедренного треугольника: 1. Если основание равно $16$ см, то сумма боковых сторон: $64 - 16 = 48$ см. Каждая боковая сторона: $48 / 2 = 24$ см. (Треугольник со сторонами $24, 24, 16$ существует, т.к. $24+24 > 16$). 2. Если боковая сторона равна $16$ см, то вторая боковая тоже $16$ см. Основание: $64 - (16 + 16) = 64 - 32 = 32$ см. Однако по неравенству треугольника сумма двух сторон должна быть больше третьей: $16 + 16 = 32$. Сторона не может быть равна сумме двух других ($32=32$ — вырожденный треугольник). Значит, этот случай невозможен. **Ответ:** Боковая сторона равна 24 см.