а) Решите уравнение 2 cos^2 (3π/2 + x) = √3 sin x.

а) Преобразуем уравнение, используя формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$: $2 \sin^2 x = \sqrt{3} \sin x$ $2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x = 0$ $\sin x (2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$ 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ или $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни на отрезке $[\frac{5\pi}{2}; 4\pi] = [2,5\pi; 4\pi]$: - Для $x = \pi k$: - $k=3: x = 3\pi$ (подходит) - $k=4: x = 4\pi$ (подходит) - Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: - $n=1: x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 2,33\pi$ (меньше $2,5\pi$, не подходит) - $n=2: x = \frac{\pi}{3} + 4\pi$ (больше $4\pi$, не подходит) - Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: - $n=1: x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 2,66\pi$ (подходит) - $n=2: x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi$ (больше $4\pi$, не подходит) Ответ: а) $\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$; б) $3\pi; \frac{8\pi}{3}; 4\pi$.