cos^2 x - 1/2 sin 2x + cos x = sin x

Question

Вопрос:

cos^2 x - 1/2 sin 2x + cos x = sin x

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Решим уравнение $\cos^2 x - \frac{1}{2} \sin 2x + \cos x = \sin x$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. 1. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. 2. Подставим в уравнение: $\cos^2 x - \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) + \cos x = \sin x$ $\cos^2 x - \sin x \cos x + \cos x - \sin x = 0$ 3. Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 x - \sin x \cos x) + (\cos x - \sin x) = 0$ $\cos x (\cos x - \sin x) + 1 (\cos x - \sin x) = 0$ $(\cos x - \sin x)(\cos x + 1) = 0$ 4. Получаем два уравнения: 1) $\cos x - \sin x = 0$ $\cos x = \sin x$ $\tan x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x + 1 = 0$ $\cos x = -1$ $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 5. Отберем корни на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$: - Из первой серии: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. - При $k=1: x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ (входит в отрезок). - При $k=2: x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} > 2\pi$ (не входит). - Из второй серии: $x = \pi + 2\pi k$. - При $k=0: x = \pi$ (входит в отрезок). - При $k=1: x = 3\pi > 2\pi$ (не входит). **Ответ:** $\pi; \frac{5\pi}{4}$

cos^2 x - 1/2 sin 2x + cos x = sin x

Ответ ассистента

Другие решения