Решите задачу тремя способами: 1) непосредственно вычислив корни уравнения; 2) используя теорему Виета; 3) графически.

### Решение Задания 1 Уравнение: $x^2 - ax - a - 1 = 0$. **1) Вычисление корней:** Дискриминант $D = (-a)^2 - 4(1)(-a-1) = a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$. Корни: $x_1 = \frac{a - (a+2)}{2} = -1$, $x_2 = \frac{a + (a+2)}{2} = a+1$. Условие «различные корни» требует $x_1 \neq x_2$, то есть $-1 \neq a+1 \Rightarrow a \neq -2$. Корни должны лежать на луче $(-\infty; 2]$, значит: $-1 \leq 2$ (верно) и $a+1 \leq 2 \Rightarrow a \leq 1$. С учетом $a \neq -2$, ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1]$. **2) Теорема Виета:** Пусть $f(x) = x^2 - ax - a - 1$. Корни лежат на $(-\infty; 2]$. Условия: 1) $D > 0 \Rightarrow (a+2)^2 > 0 \Rightarrow a \neq -2$. 2) Вершина параболы $x_v = \frac{a}{2} < 2 \Rightarrow a < 4$. 3) $f(2) = 4 - 2a - a - 1 = 3 - 3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 1$. Пересечение: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1]$. **3) Графический метод:** $x^2 - 1 = a(x+1)$. При $x = -1$ имеем $0 = 0$, то есть $x = -1$ всегда корень. При $x \neq -1$: $a = \frac{x^2-1}{x+1} = x - 1$. Прямая $a = x - 1$ должна пересекать ось $a$ в двух точках (одна из которых $x=-1$, другая $x=a+1$ для разных корней), где $x \leq 2$. Так как $x_1 = -1$ уже на луче, нужно чтобы $x_2 = a+1 \leq 2$ и $x_2 \neq -1$. Получаем $a \leq 1$ и $a \neq -2$. --- ### Решение Задания 2 **1) План-схема:** 1. Найти ОДЗ: подкоренное выражение $\geq 0$, аргументы логарифмов $> 0$. 2. Записать уравнение как $f(x) \cdot g(x) = f(x) \cdot h(x) \Leftrightarrow f(x)(g(x) - h(x)) = 0$. 3. Рассмотреть случаи $f(x) = 0$ и $g(x) = h(x)$. 4. Проверить полученные корни на ОДЗ. 5. Выбрать значения параметра $a$, при которых общее количество решений равно 1. **2) Решение:** Уравнение: $\sqrt{5-7x} \cdot (\ln(9x^2 - a^2) - \ln(3x + a)) = 0$. ОДЗ: $5-7x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5/7$. Также $3x+a > 0$ и $9x^2-a^2 > 0$. Случай 1: $\sqrt{5-7x} = 0 \Rightarrow x = 5/7$. Проверка ОДЗ: $3(5/7) + a > 0 \Rightarrow a > -15/7$. При этом $9(25/49) - a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < 225/49 \Rightarrow |a| < 15/7$. Значит, $x = 5/7$ — корень при $a \in (-15/7; 15/7)$. Случай 2: $\ln(9x^2 - a^2) = \ln(3x + a) \Rightarrow 9x^2 - a^2 = 3x + a$. $(3x-a)(3x+a) - (3x+a) = 0 \Rightarrow (3x+a)(3x-a-1) = 0$. Так как $3x+a > 0$ (из ОДЗ), остается $3x = a+1 \Rightarrow x = (a+1)/3$. Условие: $x eq 5/7$ (чтобы не дублировать), $(a+1)/3 < 5/7 \Rightarrow a+1 < 15/7 \Rightarrow a < 8/7$. И $3((a+1)/3) + a > 0 \Rightarrow 2a+1 > 0 \Rightarrow a > -0.5$. Итог: $a = 15/7$ (когда $x_2$ совпадает с границей $5/7$ или выходит за ОДЗ), также анализ границ дает $a \in [8/7; 15/7)$. Ответ: $a \in (-15/7; -0.5] \cup [8/7; 15/7)$.