При каких значениях параметра а система неравенств { 12 - x^2 >= a, |x| >= a } не имеет решения

### Решение вопроса 3 Система неравенств: $\begin{cases} 12 - x^2 \geq a \\ |x| \geq a \end{cases}$ Обозначим $f(x) = 12 - x^2$ и $g(x) = |x|$. Нам нужно найти такие $a$, при которых система не имеет решений, то есть множества решений каждого неравенства не пересекаются. 1. Решим $12 - x^2 \geq a$: $x^2 \leq 12 - a$. При $12 - a < 0$ (т.е. $a > 12$) решений нет. Если $12 - a \geq 0$, то $x \in [-\sqrt{12-a}; \sqrt{12-a}]$. 2. Решим $|x| \geq a$: Если $a < 0$, то решение — любое $x$ (вся числовая прямая). Если $a \geq 0$, то решение — $x \in (-\infty; -a] \cup [a; +infty)$. Система не имеет решений, если пересечение множеств пусто. Это происходит, когда отрезок решений первого неравенства $[-\sqrt{12-a}; \sqrt{12-a}]$ целиком лежит в интервале между ветвями решения второго, то есть внутри $(-a; a)$. Это значит, что должно выполняться условие: $\sqrt{12-a} < a$. Возводим в квадрат (при $a > 0$): $12 - a < a^2 \Rightarrow a^2 + a - 12 > 0$. Корни уравнения $a^2 + a - 12 = 0$: $D = 1 + 48 = 49$, $a_1 = -4, a_2 = 3$. Неравенство $a^2 + a - 12 > 0$ выполняется при $a \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$. Так как мы рассматривали $a > 0$, получаем $a > 3$. **Ответ: a > 3.** ### Решение вопроса 4 Уравнение: $\cos^2 x - 2\cos x + a = 0$. Пусть $\cos x = t$, где $t \in [-1; 1]$. Тогда $t^2 - 2t + a = 0$, или $a = -t^2 + 2t$. Исследуем функцию $f(t) = -t^2 + 2t$ на отрезке $t \in [-1; 1]$. Это парабола, ветви вниз. Вершина в точке $t = -b/(2a) = -2 / (-2) = 1$. На отрезке $[-1; 1]$ функция возрастает. - При $t = -1$: $f(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3$. - При $t = 1$: $f(1) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$. Значит, уравнение имеет решение, если $a$ попадает в область значений функции на этом отрезке: $a \in [-3; 1]$. **Ответ: a ∈ [-3; 1].**