Докажите, что если a + b = 0, то верно равенство (a^2 + 6ab + 9b^2 / a^2 + 10ab + 25b^2)^2 = 1/16.

Question

Вопрос:

Докажите, что если a + b = 0, то верно равенство (a^2 + 6ab + 9b^2 / a^2 + 10ab + 25b^2)^2 = 1/16.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$). 1. Разложим на множители числитель: $a^2 + 6ab + 9b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 = (a + 3b)^2$ 2. Разложим на множители знаменатель: $a^2 + 10ab + 25b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5b + (5b)^2 = (a + 5b)^2$ 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $\left( \frac{(a + 3b)^2}{(a + 5b)^2} \right)^2 = \left( \frac{a + 3b}{a + 5b} \right)^4$ 4. По условию $a + b = 0$, значит $a = -b$. Подставим это значение в выражение: $\frac{a + 3b}{a + 5b} = \frac{-b + 3b}{-b + 5b} = \frac{2b}{4b} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 5. Возведем результат в квадрат (как в исходном условии): $\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ Стоп, кажется, в условии опечатка или я неверно интерпретировал степень. Давайте перепроверим выражение $\left(\frac{(a + 3b)^2}{(a + 5b)^2}\right)^2 = \left(\frac{a + 3b}{a + 5b}\right)^4$. Если мы подставим $a=-b$ в $(\frac{a+3b}{a+5b})^2$, получим $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Вероятно, в учебнике либо опечатка в ответе ($?rac{1}{16}$ вместо $?rac{1}{4}$), либо в самой дроби. Но если следовать строгой математике по данному условию, ответ равен $\frac{1}{4}$. Если же в условии стоит квадрат дроби $\left(\frac{a+3b}{a+5b}\right)^2$ и мы его возводим еще раз, получается 1/16, что соответствует записи $(\frac{1}{2})^4 = 1/16$. Значит, исходное выражение эквивалентно $\left(\frac{a+3b}{a+5b}\right)^4$.

Докажите, что если a + b = 0, то верно равенство (a^2 + 6ab + 9b^2 / a^2 + 10ab + 25b^2)^2 = 1/16.

Ответ ассистента

Другие решения