а) Решите уравнение 4 sin(x - 7pi/2) = 3/cos x

Для решения уравнения $$4 \sin(x - \frac{7\pi}{2}) = \frac{3}{\cos x}$$ сначала преобразуем левую часть с помощью формул приведения: $$\sin(x - \frac{7\pi}{2}) = \sin(x - \frac{7\pi}{2} + 4\pi) = \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x$$ Теперь уравнение принимает вид: $$4 \cos x = \frac{3}{\cos x}$$ Учитывая, что $\cos x \neq 0$ (так как на него делим), домножим обе части на $\cos x$: $$4 \cos^2 x = 3$$ $$\cos^2 x = \frac{3}{4}$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Отсюда находим корни: 1) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ Объединяя, получаем: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. б) Отберем корни на отрезке $[-\frac{13\pi}{2}, -5\pi]$. $-\frac{13\pi}{2} = -6.5\pi$, $-5\pi = -5\pi$. Корни общего вида $x = \frac{\pi}{6} + \pi m$ и $x = -\frac{\pi}{6} + \pi m$: - При $m = -6: x = \frac{\pi}{6} - 6\pi = -\frac{35\pi}{6} \approx -5.83\pi$ (входит) - При $m = -6: x = -\frac{\pi}{6} - 6\pi = -\frac{37\pi}{6} \approx -6.16\pi$ (входит) - При $m = -7: x = \frac{\pi}{6} - 7\pi = -\frac{41\pi}{6} \approx -6.83\pi$ (не входит, левее) - При $m = -5: x = -\frac{\pi}{6} - 5\pi = -\frac{31\pi}{6} \approx -5.16\pi$ (входит) - При $m = -5: x = \frac{\pi}{6} - 5\pi = -\frac{29\pi}{6} \approx -4.83\pi$ (не входит, правее) Корни: $-\frac{37\pi}{6}, -\frac{35\pi}{6}, -\frac{31\pi}{6}$.