Пирамида. Определение апофемы. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Привет! Давай разберем задания из твоего билета по порядку: 1. **Пирамида. Определение апофемы. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.** - **Апофема пирамиды** — это высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины к основанию. - **Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$)** — сумма площадей всех боковых граней (для правильной пирамиды $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, $l$ — апофема). - **Площадь полной поверхности ($S_{полн}$)** — сумма площади основания ($S_{осн}$) и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$. 2. **Задача с квадратом:** Через вершину $B$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $BM \perp AB$ и $BM \perp BC$. Это значит, что $BM$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Так как $AB = n$, то $AC = n\sqrt{2}$. Расстояние от $M$ до $AC$ будет высотой $BH$ в прямоугольном треугольнике $MBH$, где $BH$ — высота квадрата, $BH = \frac{n}{\sqrt{2}} = \frac{n\sqrt{2}}{2}$. Расстояние до $AC$: $\sqrt{MB^2 + BH^2} = \sqrt{m^2 + \frac{n^2}{2}}$. Расстояние до $BD$: так как $BM \perp BD$, расстояние равно $MB = m$. 3. **Упростить: $\frac{1}{tg^2x+1} + \cos^2x$** Используем формулу $tg^2x+1 = \frac{1}{\cos^2x}$. Тогда $\frac{1}{1/\cos^2x} + \cos^2x = \cos^2x + \cos^2x = 2\cos^2x$. 4. **Комбинаторика: 2 яблока и 3 груши, 5 дней по 1 фрукту.** Это задача на перестановки с повторениями: $\frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$ способов. 5. **Площадь поверхности шара: $R = 4$ см.** $S = 4\pi R^2 = 4 \cdot \pi \cdot 16 = 64\pi \approx 201,06$ см². 6. **Решить: $\sqrt{2x-1} = x$** Возведем в квадрат: $2x-1 = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0$. Ответ: $x=1$. 7. **Решить: $(4)^{3x+5} < 64$** $4^{3x+5} < 4^3$. Так как основание > 1, то $3x+5 < 3 \Rightarrow 3x < -2 \Rightarrow x < -2/3$. 8. **Решить: $\log_{0,2}(x-3) = \log_{0,2}(5x)$** ОДЗ: $x-3 > 0$ и $5x > 0 \Rightarrow x > 3$. Приравниваем: $x-3 = 5x \Rightarrow -4x = 3 \Rightarrow x = -0,75$. Не входит в ОДЗ. Корней нет. 9. **Производная $y = e^x \cdot (x)^9$** По правилу $(uv)' = u'v + uv'$: $y' = (e^x)'x^9 + e^x(x^9)' = e^x x^9 + e^x cdot 9x^8 = e^x(x^9 + 9x^8)$. 10. **Первообразная $y = x^9 - \frac{5}{x}$** $F(x) = \frac{x^{10}}{10} - 5\ln|x| + C$.