Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 90 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист. Найдите расстояние от А до С.

Пусть $x$ км — расстояние от города А до города С. Скорость мотоциклиста $v_m = 100$ км/ч. Время, затраченное мотоциклистом на путь из А в С: $t_{m1} = \frac{x}{100}$ ч. Автомобиль выехал на 90 минут ($1,5$ ч) раньше, значит его время до точки С: $t_{a1} = \frac{x}{100} + 1,5$ ч. Скорость автомобиля: $v_a = \frac{x}{t_{a1}} = \frac{x}{\frac{x}{100} + 1,5} = \frac{100x}{x + 150}$ км/ч. Рассмотрим вторую часть пути: Мотоциклист проехал половину пути из С в А, то есть $\frac{x}{2}$ км. Время на этот путь: $t_{m2} = \frac{x/2}{100} = \frac{x}{200}$ ч. За это же время автомобиль проехал путь от С до В. Длина этого пути: $120 - x$ км. Время автомобиля: $t_{a2} = \frac{120 - x}{v_a} = \frac{(120 - x)(x + 150)}{100x}$ ч. Так как времена $t_{m2}$ и $t_{a2}$ равны, составим уравнение: $\frac{x}{200} = \frac{(120 - x)(x + 150)}{100x}$ $\frac{x}{2} = \frac{120x + 18000 - x^2 - 150x}{x}$ $x^2 = 2(18000 - 30x - x^2)$ $x^2 = 36000 - 60x - 2x^2$ $3x^2 + 60x - 36000 = 0$ (разделим на 3) $x^2 + 20x - 12000 = 0$ Находим дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 400 + 48000 = 48400 = 220^2$ $x_1 = \frac{-20 + 220}{2} = \frac{200}{2} = 100$ $x_2 = \frac{-20 - 220}{2} = -120$ (не подходит, расстояние не может быть отрицательным) **Ответ: 100 км.**