4.159. Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, является диаметром полуокружности, которая касается второй боковой стороны. Найдите радиус полуокружности, если основания трапеции равны a и b.

Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a$ и $b$ ($a > b$), где меньшая боковая сторона $h$ перпендикулярна основаниям. Эта сторона является диаметром полуокружности, значит, радиус $R = h/2$. Поскольку полуокружность касается второй (наклонной) боковой стороны, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой стороне. Пусть $ABCD$ — трапеция, где $AD = a$ (нижнее основание), $BC = b$ (верхнее), $AB = h$ — высота и диаметр. Пусть $CD$ — вторая боковая сторона. Опустим перпендикуляр из $C$ на $AD$, получим точку $H$, тогда $CH = h = AB$. Из прямоугольного треугольника $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2 = h^2 + (a - b)^2$. Пусть $O$ — центр полуокружности на стороне $AB$ ($AO=OB=R=h/2$), а $K$ — точка касания на $CD$. Тогда $OK \perp CD$ и $OK = R = h/2$. Треугольники $KOC$ и $CHD$ подобны (у них общий угол при вершине $C$ или через равенство углов при вершинах), но проще рассмотреть треугольник $OCD$: Площадь треугольника $OCD$ можно выразить двумя способами: 1) $S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{h^2 + (a-b)^2} \cdot \frac{h}{2}$ 2) $S = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot h$ (высота из $O$ на $AB$ не подходит, используем высоту из $O$ к основанию, но проще через подобие или равенство): В прямоугольном треугольнике $\triangle CHD$ высота $OK$ из $O$ на гипотенузу $CD$ связана соотношением: $OK = \frac{CH \cdot HD}{CD}$ (это неверно, $O$ не на $CD$) Используем подобие треугольников $\triangle OCK \sim \triangle CHD$ не получится напрямую. Используем равенство отрезков касательных: $CK = CB = b$. Тогда $KD = CD - CK = \sqrt{h^2 + (a-b)^2} - b$. В $\triangle OKD$ (прямоугольный, $\angle OKD = 90^\circ$): $OD^2 = OK^2 + KD^2$. $OD^2 = (h/2)^2 + (\sqrt{h^2 + (a-b)^2} - b)^2$. Также из $\triangle OAD$: $OD^2 = OA^2 + AD^2 = (h/2)^2 + a^2$. Приравниваем: $(h/2)^2 + a^2 = (h/2)^2 + (\sqrt{h^2 + (a-b)^2} - b)^2$ $a^2 = (\sqrt{h^2 + (a-b)^2} - b)^2$ $a = \sqrt{h^2 + (a-b)^2} - b$ $a + b = \sqrt{h^2 + (a-b)^2}$ Возводим в квадрат: $(a+b)^2 = h^2 + (a-b)^2$ $a^2 + 2ab + b^2 = h^2 + a^2 - 2ab + b^2$ $h^2 = 4ab$ $h = 2\sqrt{ab}$ Так как радиус $R = h/2$, то $R = \sqrt{ab}$. Ответ: $\sqrt{ab}$