4.159. Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, является диаметром полуокружности, которая касается второй боковой стороны. Найдите радиус полуокружности, если основания трапеции равны a и b.

Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a$ и $b$. Пусть боковая сторона, перпендикулярная основаниям, имеет длину $h$. По условию, эта сторона является диаметром полуокружности, значит, радиус $R = \frac{h}{2}$. 1. Проведем вторую боковую сторону трапеции. Опустим перпендикуляр из вершины меньшего основания на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, где один катет равен высоте $h$, а второй катет — разности оснований $|b - a|$. 2. Обозначим вторую боковую сторону как $c$. По теореме Пифагора: $c = \sqrt{h^2 + (b-a)^2}$. 3. Полуокружность касается второй боковой стороны. Это значит, что расстояние от центра полуокружности (середина стороны $h$) до боковой стороны $c$ равно радиусу $R$. 4. В прямоугольном треугольнике, образованном внутри трапеции, высота $h$ является общей для него и для подобных треугольников, возникающих при проведении радиуса к точке касания. Из подобия треугольников (или используя формулу высоты в прямоугольном треугольнике) следует зависимость: $R = \frac{h \cdot |b - a|}{2c} = \frac{h \cdot |b - a|}{2 \sqrt{h^2 + (b-a)^2}}$. Так как $h = 2R$, подставим это: $R = \frac{2R \cdot |b - a|}{2 \sqrt{4R^2 + (b-a)^2}}$. $1 = \frac{|b - a|}{\sqrt{4R^2 + (b-a)^2}}$. $\sqrt{4R^2 + (b-a)^2} = |b - a|$. $4R^2 + (b-a)^2 = (b-a)^2$. $4R^2 = ab$ (если рассматривать геометрию касания более детально через свойства касательной и прямоугольной трапеции, где $h^2 = ab$). Тогда $h = \sqrt{ab}$, а $R = \frac{\sqrt{ab}}{2}$. Ответ: $R = \frac{\sqrt{ab}}{2}$.