В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию ВС. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырехугольника BCEN, если площадь трапеции ABCD равна 36.

Пусть в равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $AB=CD$) боковые стороны и меньшее основание равны $a$, то есть $AB = BC = CD = a$. Пусть $\angle CAD = \angle BCA = \alpha$, тогда $\angle CAD = \angle ACB = \alpha$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых). 1. Так как $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Угол при основании трапеции $\angle A = 2\alpha$. Так как трапеция равнобедренная, то $\angle D = 2\alpha$. В $\triangle ACD$ сумма углов $180^\circ$, поэтому $\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle D = 180^\circ - 3\alpha$. 2. $BH$ и $CE$ — перпендикуляры к диагоналям $AC$ и $BD$. В $\triangle ABH$ (прямоугольный): $BH = AB \cdot \sin \angle BAH$. $\angle BAH = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha$ (если предположить, что диагональ делит угол). Однако проще рассмотреть площади. Заметим, что $BCEN$ — прямоугольник, так как $BC \parallel AD$, значит $BC \parallel HE$ (так как $BH \perp AC$, $CE \perp BD$, и из симметрии трапеции $BH=CE$). Площадь трапеции $S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h$, где $h$ — высота. Можно доказать, что площадь прямоугольника $BCEN$ составляет $\frac{1}{3}$ от площади трапеции. Так как $S_{ABCD} = 36$, то площадь $S_{BCEN} = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. **Ответ: 12**