4.153. (Т) Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой – секущая, параллельная касательной. Определить радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12 см.

Пусть дана окружность радиуса $R$. Обозначим хорду $AB = 10$ см. Через точку $A$ проведена касательная $l$, а через точку $B$ — секущая $m$, параллельная $l$. Пусть секущая пересекает окружность в точках $B$ и $C$. Внутренний отрезок секущей равен $BC = 12$ см. 1. Так как касательная $l$ параллельна секущей $m$ (прямая $BC$), то дуги, заключенные между параллельными прямыми, равны. Значит, дуга $AB$ равна дуге $AC$. Следовательно, хорды $AB$ и $AC$ равны: $AC = AB = 10$ см. 2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем все его стороны: $AB = 10$ см, $AC = 10$ см, $BC = 12$ см. Это равнобедренный треугольник. 3. Проведем высоту $AH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому $BH = HC = BC / 2 = 12 / 2 = 6$ см. 4. Из прямоугольного треугольника $ABH$ найдем высоту $AH$ по теореме Пифагора: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см. 5. Обозначим $R$ — радиус окружности. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ является хордой. Угол между касательной $l$ и хордой $AB$ равен половине дуги $AB$. Угол между секущей $BC$ и хордой $AC$ также равен половине дуги $AC$. Так как дуги равны, то угол $\angle ABC$ равен углу между касательной и хордой $AB$. 6. По свойствам вписанных углов, $R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника $ABC$, а $a, b, c$ — его стороны. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$. Радиус $R = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4S} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = 6,25$ см. **Ответ: 6,25 см.**