Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, CF : DF = 4 : 3.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством отрезка, параллельного основаниям трапеции. Пусть $AD = 42$ — нижнее основание, $BC = 14$ — верхнее основание. 1. Проведем диагональ $AC$. Пусть она пересекает отрезок $EF$ в точке $K$. 2. Отрезок $EK$ является отрезком, соединяющим боковую сторону $AB$ с диагональю $AC$ и параллельным основанию $BC$. По теореме Фалеса (или подобию треугольников), отношение отрезков на боковых сторонах равно отношению отрезков на диагоналях. Так как $EF \parallel AD$ и $EF \parallel BC$, то $\triangle BKC \sim \triangle BDA$ и $\triangle EKF \sim \triangle ADC$. Проще использовать формулу для отрезка, параллельного основаниям трапеции, который делит боковые стороны в отношении $CF : DF = 4 : 3$. Пусть $CF = 4x, DF = 3x$. Тогда $CD = 7x$. Отношение $CF/CD = 4/7$. Подобие треугольников $\triangle EBF \sim \triangle ABC$ и $\triangle ECF \sim \triangle ADC$ здесь не совсем применимо напрямую, лучше рассмотреть точку пересечения диагонали. Или воспользоваться готовой формулой для отрезка $EF$, делящего трапецию на две подобные: $EF = \frac{CF \cdot BC + DF \cdot AD}{CD}$. Подставим значения: $EF = \frac{4x \cdot 14 + 3x \cdot 42}{7x}$ $EF = \frac{56x + 126x}{7x}$ $EF = \frac{182x}{7x}$ $EF = 26$ Ответ: 26