а) Решите уравнение: (2sin x - 1)(sqrt(-cos x) + 1) = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3pi/2; 3pi].

Уравнение имеет вид: $(2 \sin x - 1)(\sqrt{-\cos x} + 1) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. 1) $2 \sin x - 1 = 0$ $2 \sin x = 1$ $\sin x = \frac{1}{2}$ $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2) $\sqrt{-\cos x} + 1 = 0$ $\sqrt{-\cos x} = -1$ Квадратный корень не может быть равен отрицательному числу, следовательно, уравнение $\sqrt{-\cos x} = -1$ корней не имеет. Теперь учтем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-\cos x \ge 0$, то есть $\cos x \le 0$. Это выполняется в 2 и 3 четвертях. **а) Решение:** $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. **б) Отбор корней на отрезке $[\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$:** Серия решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. - При $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (1 четверть), значения косинуса положительны. Условие $\cos x \le 0$ не выполняется. - При $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ (2 четверть), косинус отрицателен ($\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$). Условие выполняется. Проверим корни $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ на принадлежность отрезку $[\frac{3\pi}{2}; 3\pi] = [1.5\pi; 3\pi]$: - При $n=0$: $x = \frac{5\pi}{6} \approx 0.83\pi$ (не входит). - При $n=1$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 2.83\pi$ (входит, так как $\frac{9\pi}{6} \le \frac{17\pi}{6} \le \frac{18\pi}{6}$). **Ответ:** а) $(-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{17\pi}{6}$.